ESTADISTICA (plan nuevo)

Estimación

1) Sea $X$ distribuída según una MATH. Sea la muestra:

MATH MATH

Hallar las funciones estimadoras de $a$ y $b$, usando el método de los momentos.

(Rta: MATH MATH)

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2) Ciertas láminas tienen fallas según una $P_{o}(\lambda )$. Sea la muestra de $n$ láminas:

MATH MATH donde $X_{i}:$ número de fallas en cada lámina.

(a) Hallar si existe un estadístico suficiente para $\lambda $? (Rta: MATH)

(b) Hallar la función estimadora de $\lambda $ por MV? (Rta: MATH)

(c) Es insesgada? (Rta: sí)

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3) Sea $X$ con densidad MATHpara $x>0.$

MATH Sea la muestra: MATH

(a) Hallar si existe un estadístico suficiente para $\theta $? (Rta: MATH)

(b) Hallar la función estimadora $\theta $ por MV. (Rta: MATH)

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4) Una máquina fabrica artículos siendo $p:$ la probabilidad de artículo defectuoso.

Sea la muestra de $n$ artículos fabricados por la máquina:

MATH MATH (donde $X_{i}=1$ si el artículo es defectuoso, y $0$ si es bueno)

(a) Cuál es la población de la que proviene esta muestra?

(Rta: MATH con MATH)

(b) Hallar si existe un estadístico suficiente para $p$? (Rta: MATH)

(c) Que distribución tiene $H$? (Rta: MATH)

(d) Usando $H$, hallar la función estimadora de $p$ por MV? (Rta: MATH)

(e) Calcular $E(\widehat{P})$ y $Var(\widehat{P})$. Es insesgada? (Rta: $E(\widehat{P})=p$, MATH, sí)

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5) Una máquina fabrica artículos siendo $p:$ la probabilidad de artículo defectuoso.

Sea la muestra de $n$ cajas (con $k$ artículos c/u) fabricados por la máquina:

MATH MATH (donde $X_{i}$ es el número de defectuosos en la caja $i$)

(a) Cuál es la población de la que proviene esta muestra? (Rta: $B_{i}(k;p)$)

(b) Hallar si existe un estadístico suficiente para $p$? (Rta: MATH)

(c) Que distribución tiene $H$? (Rta: MATH)

(d) Usando $H$, hallar la función estimadora de $p$ por MV? (Rta: MATH)

(e) Es insesgada? (Rta: si, ya que $E(\widehat{P})=p$)

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6) Sea una población MATH donde $\sigma _{0}$ es conocida. Sea la muestra:

MATH MATH

Utilizando MV se encuentra que MATH.

(que es función del estadistico suficiente MATH)

(a) Hallar la distribución de este estimador. (Rta: MATH)

(b) Es insesgado? Cual es su varianza? (Rta: sí, ya que MATH ; $Var(\overline{X})$ MATH)

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7) Sea una población MATH donde $\mu _{0}$ es conocida. Sea la muestra:

MATH MATH

Utilizando MV se encuentra que MATH.

(que es función del estadistico suficiente MATH)

(a) Hallar la distribución de este estimador. (Rta: MATH)

(b) Es insesgado? Cual es su varianza? (Rta: sí, ya que MATH)

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8) Sea una población $N(\mu ;\sigma )$ donde ambos parámetros son desconocidos. Sea la muestra:

MATH MATH

Utilizando MV se encuentra que MATH y MATH.

(ambos son función de los estadísticos suficientes MATH y

MATH)

(a) Hallar la distribución de $\overline{X}$. (Rta: MATH)

(b) La distribución de $S^{2}$ es: MATH.

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Nota: si de una población $N(\mu ;\sigma )$ (ambos parametros desconocidos)se toma la muestra:

MATH MATH entonces:

$\overline{X}$ es un estimador insesgado de $\mu $, con MATH

MATH es un estimador insesgado de $\sigma ^{2}$,

con MATH

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9) Sea una población $N(3\mu ;2\sigma )$ y la muestra:

MATH MATH

(a) Hallar un estimador insesgado de $\mu $, y su varianza. (Rta: MATH, con MATH)

(b) Hallar un estimador insesgado de $\sigma ^{2}$, y su varianza.

(Rta: $\frac{S^{2}}{4}$, con MATH)

Estimador en pool

Nota: Sean dos poblaciones MATH y MATH independientes. Sean las:

MATH correspondientes muestras: MATH y MATH y las:

MATH correspondientes funciones estimadoras insesgadas: MATH y MATH luego:

MATH (útil si no depende de $\theta $)

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1) Una máquina fabrica artículos, siendo $p$ la probabilidad de artículo defectuoso.

Sean los estimadores de $p$ obtenidos por dos operarios con la misma máquina:

MATH Operario 1: fabricó $n_{1}$ artículos encontrando $X_{1}$ defectuosos. Luego MATH

MATH Operario 2: fabricó $n_{2}$ artículos encontrando $X_{2}$ defectuosos. Luego MATH

Hallar el estimador en pool de $p$, o sea $\widehat{p}_{pool}$. Es razonable? (Rta: MATH)

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2) Sean las poblaciones $N(\mu ;\sigma )$ y $N(3\mu ;2\sigma )$, y las respectivas muestras independientes:

MATH MATH y MATH

(a) Hallar el MATH ? (Rta: MATH $\overline{X}+0.574$ MATH)

(b) Hallar MATH ? (Rta: MATH)

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IC en general(No óptimos o aproximados)

Del resultado 3 de Combinación lineal de v.a.: Sea la población MATH y la muestra:

MATH MATH luego:

MATH y MATH

Además, como MATH(el numerador es una suma de v.a. independientes de la misma

población), si $n$ es grande, por TCL, resultará $\overline{X}$ distribuída normalmente, o sea

MATH.

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1) Sea la va $X$ con densidad MATH para MATH(Hint: MATH y MATH)

MATH Se toma una muestra de tamaño 72, resultando $\overline{X}=47$.

Hallar un $IC_{\theta }$ al 95% (usar TCL). (Rta: MATH)

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2) En un teléfono de una empresa las llamadas en minutos tienen una duración $T$

con MATH para $t\geq \theta $.

MATH En 150 llamadas, 60 duraron mas de 10 min.

Hallar un $IC_{\theta }$ al 90%. (Rta: MATH)

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3) Se quiere estudiar la intensidad de fallas de un computador. Se dispone como información:

MATH La 5ta vez que falló este año fué el 12 de Marzo(día 71).

Hallar un $IC_{\beta }$ al 90%. (Rta: MATH)

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4) Se desconoce el total de peces de un lago($N$). Para evaluar esto se introducen en el lago

1000 peces marcados.

MATH Luego de algunos días se toma una muestra de $n=100$ peces encontrando 15

peces marcados.

Hallar un $IC_{N}$ al 95%. (Rta: MATH)

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5) Se quiere estudiar la intensidad de fallas por mes de una máquina($\beta $). Se dispone como

información:

MATH En 57 meses falló 50 veces.

Hallar un $IC_{\beta }$ al 90%. (Rta: MATH)

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6) Sea una población $G(\alpha ;0.15)$.

MATH De una muestra de tamaño 100, se sabe solamente que hay 40 observaciones mayores que 10.

(a) Hallar un $IC_{\alpha }$ al 90%. (Rta: MATH)

MATH De una muestra de tamaño 3 se conoce solamente que MATH

(b) Hallar un $IC_{\alpha }$ al 90%. (Rta: MATH)

MATH De una muestra de tamaño 200 se conoce solamente que MATH (usar TCL)

(c) Hallar un $IC_{\alpha }$ al 90%. (Rta: dejar expresado)

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7) Se tienen mezclados artículos de calidad "a" cuyo peso es N(10;2)gr, y de calidad "b" de

peso N(13;2)gr. Las proporciones de mezcla son desconocidas. Interesa el parámetro $\alpha $ que

es la "proporción de artículos "a" en la mezcla". Se dispone como información:

MATH Se tomó una muestra de 100 artículos de la mezcla, se los pesó, encontrando 40 que

pesan menos de 11.5gr.

Hallar un $IC_{\alpha }$ al 90%. (Rta: MATH)

IC para poblaciones Normales

1) Los diámetros de ejes producidos en un torno automático se distribuyen según una

$N(\mu ;0.24)mm.$A fin de verificar el posicionado correcto de la herramienta, se tornean 12

piezas, midiendo el diámetro de cada una, resultando la muestra:

MATH MATH con MATH

(a) Hallar un $IC_{\mu }$ al 90% (Rta: MATH)

(b) El intervalo anterior tiene una semiamplitud $0.114$. Si se desea un intervalo cuya

semiamplitud sea de $0.05$, que tamaño de muestra debería tomarse? (Rta: $n=63$)

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2) La dimensión principal de las piezas producidas por una máquina responden a una $N(\mu ;\sigma )$.

La muestra de dimensiones de $n$ piezas sería:

MATH MATH

Se quiere un $IC_{\sigma ^{2}}$ al 90%, tal que su extremo superior supere al inferior en un 70%.

Que tamaño de muestra se necesita? (Rta: $n=79$)

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3) De una población $N(4;\sigma )$ se toma la muestra:

MATH $3.2-$ $4.2-$ $4.3-$ $4$

Hallar un $IC_{\sigma }$ al 95% (Rta: MATH)

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4) El título de un hilado tiene distribución $N(\mu ;\sigma )$. Sea la muestra:

MATH MATH con MATH y MATH.

Hallar un $IC_{\mu }$ al 98%? (Rta: MATH)

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5) La característica principal de un proceso se distribuye según una $N(\mu ;\sigma )$. Interesa estudiar

la variablidad del proceso. Se extrayeron 5 muestras de distintos tamaños, en distintos instantes

de una semana, obteniendo:

MATH muestra1 con $n_{1}=7,$ $\ S_{1}^{2}=1.74$

MATH muestra2 con $n_{2}=5,$ $\ S_{2}^{2}=7.20$

MATH muestra3 con $n_{3}=5,$ $\ S_{3}^{2}=4.40$

MATH muestra4 con $n_{4}=7,$ $\ S_{4}^{2}=3.82$

MATH muestra5 con $n_{5}=7,$ $\ S_{5}^{2}=9.91$

Nota: las medias de las normales de las que proviene cada muestra pueden variar, no así la $\sigma $.

Hallar un $IC_{\sigma }$ al 90%? (Rta: MATH)

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6) Sean las poblaciones $N(\mu _{x};2)cm$ y $N(\mu _{y};3)cm$ y las respectivas muestras independientes:

MATH MATH y MATH

Sea MATH. Se quiere hallar un $IC_{\delta }$ al 95% de semiamplitud 1cm.

(a) Hallar el tamaño de muestra necesario si $n_{x}=n_{y}$? (Rta: $n_{x}=n_{y}=50)$

(b) Hallar los tamaños de muestra óptimos necesarios, que minimizan la muestra total?

(Hint: expresar $n_{y}$ en función de $n_{x}$; reemplazar en $n=n_{x}+n_{y}$; derivar respecto de $n_{x}$)

(Rta: MATH y MATH)

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7) Una fábrica de lámparas ensaya dos modelos: con filamentos tipo "a" y "b" obteniendo:

MATH MATH con $\overline{A}=1400h$ y MATH

MATH MATH con $\overline{B}=1200h$ y $S_{ab}^{2}=36h^{2}$

La duración de las lámparas de cada modelo se distribuye según una normal. Se supondrá

tambien que los desvíos de estas normales son iguales.

(a) Cuales son las poblaciones de las que provienen estas dos muestras?

(b) Hallar un $IC_{\delta }$ al 95% para $\delta :$ " la diferencia de duración media entre ambos tipos de

filamentos? (Rta: MATH)

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8) El peso de los artículos fabricados por dos máquinas se distribuyen según MATH y

MATH respectivamente. Se tienen las muestras:

MATH MATH con $S_{x}^{2}=5.29$

MATH MATH con $S_{y}^{2}=4.32 $

Hallar un $IC_{\varphi }$ al 95% para MATH? (Rta: MATH)

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9) El peso de cierto tipo de artículos es N($\mu _{a}$;$\sigma $). Se venden en cajas de 10.

El peso de cada caja vacía es N($\mu _{v}$;2$\sigma $). Sean las muestras:

MATH De artículos: MATH con $\overline{A}=8$ y $S_{a}=2$

MATH De cajas llenas: MATH con $\overline{C}=175$ y $S_{c}=14$, se pide:

(a) $IC_{\sigma }$al 90% (b) $IC_{\mu _{a}}$ al 90% (c) $IC_{\mu _{v}}$ al 90%.

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10) Ciertos artículos tienen un peso N($\mu $;$\sigma $). Se venden en cajas de $n$ (se desconoce este valor).

Sean las muestras:

MATH De artículos: MATH con $\overline{A}=10$ y $S_{a}=2$

MATH De cajas de $n$: MATH con $\overline{C}=365$ y $S_{c}=12$, se pide:

Hallar $IC$ al 95% para: (a) $\sigma $ (b) $n$ (c) $\mu $.

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Proceso de Poisson

1) Dos tipos de lámparas fallan a la Poisson con intensidades $\beta _{a}$ y $\beta _{b}.$Se tienen dos muestras

de duraciones de estas lámparas:

MATH lámparas "a": $15,35,40,50,25$

MATH lámparas "b": MATH

Hallar $IC_{\theta }$ al 90% para MATH, donde $\theta $ es el cociente entre duración media de lámpara "b"

respecto duración media de lámpara "a".

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2) Los tiempos de funcionamiento y reparación de una máquina son variables aleatorias

independientes con distribuciones MATH respectivamente.

Se registran estos tiempos para 8 ciclos funcionamiento-reparación:

MATH MATH pero además se

dispone de otra muestra de 4 tiempos de funcionamiento:

MATH $F:80,130,20,35$, se pide:

(a) $IC_{\mu _{F}}$ al 90% para el tiempo medio entre fallas de la máquina.

(b) $IC_{\rho }$ al 90% para el rendimiento de la máquina, donde MATH.

Suponer ahora que se sabe que MATH.

(c) Hallar (a).

(d) Hallar (b).

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3) Una máquina falla según un proceso de Poisson con intensidad $\beta $.

Se registran $8$ tiempos de funcionamiento resultando:

MATH MATH con MATH

Hallar un $IC_{P}$ al 95%, donde $P:\%$ de ciclos en que el tiempo de funcionamiento supera las 80h.

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4) Ciertos rollos de tela tienen fallas según una $P_{o}(\lambda )$.

MATH Se tienen 100 rollos, encontrando 30 sin fallas.

Hallar un $IC_{\lambda }$al 90%. (Rta: MATH)

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5) Ciertos componentes fallan a la Poisson con intensidad $\beta $.

MATH Se prueban 100 durante 500h. Fallaron 30.

Hallar un $IC_{\beta }$ al 95%.

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Tamaño de muestra

1) En la próxima elección un candidato se supone que logrará entre el 35 o 45% de los votos.

Para mejorar esta estimación se piensa realizar una encuesta.

Averiguar el número de encuestados si se quiere que el $IC$ al 95% para el % a favor del

candidato tenga una semiamplitud del 2%. (Rta: 2377) (usar TCL)

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2) Los tiempos entre llegadas de clientes a un banco responden a una va $G(1;\beta )$.

Interesa como parámetro MATH el tiempo medio entre clientes. Sea la muestra:

MATH MATH

Se quiere un $IC_{\mu }$ al 95%, tal que el extremo superior sea un 50% mayor que el inferior.

Que tamaño de muestra se necesita($n$)? (Rta: $n=94$(exacto); también se puede utilizar TCL)

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Varios

1) Suponga que en un proceso químico la concentración de una substancia se incrementa

linealmante en función del tiempo.

Concretamente si $c$ es la concentración y $t$ es el tiempo en horas, resulta $c=\alpha +\beta t$.

Se desconocen $\alpha $ y $\beta $.

Para estimarlos, se mide la concentración a las 10h y a las 30h de comenzado el proceso.

Como el instrumento de medición tiene un error aleatorio MATH, si la concentración

real en un instante dado es $c$, el valor medido de

concentración $C$ será $C=c+E$. Se tienen las mediciones de concentración:

MATH A las 10h: MATH con MATH

MATH A las 30h: MATH con MATH

Evidentemente, según la información suministrada, las poblaciones de las que proceden

estas muestras son:

MATH y MATH respectivamente. Se pide:

(a) Hallar un $IC_{\beta }$ al 90%.

(b) Se sospecha que $\alpha $, o sea la concentración al comenzar el proceso es mayor que 10.

Verificar esta sospecha con nivel de significación del 5%.

(c) Verificar con un nivel de significación del 5% si a las 50h la concentración superará los $34mg/cm^{3}$.

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