Actualización de la guía para el 2015

$\dbigoplus :$ problema con cambios de redacción o levemente modificado.

$\dsum :$ problema nuevo.

Varios problemas con cambio de orden, manteniendo su numeración.

Se suele incluir después de cada título un agrupamiento secuencial por temas.

Cálculo de probabilidades

(1-3)(6)(4-7)(8-15)(12-16)(17)(18)(19)

1) Se tiran tres monedas iguales sobre una mesa. Suponga que interesa calcular la

probabilidad que las tres resulten caras. Definir un espacio muestral apropiado,

y calcular la probabilidad pedida, usando el método de Laplace.

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2) Se distribuyen al azar tres bolillas idénticas en dos urnas. Suponer que cada

bolilla tiene igual tendencia de entrar en cada urna. Interesa calcular la probabilidad

que las dos urnas resulten ocupadas.Definir un espacio muestral apropiado,

y calcular la probabilidad pedida, usando el método de Laplace.

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3) Se tira un dado tres veces. Calcular la probabilidad que la suma de los números

obtenidos sea 6?

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6) Suponga que en una población el 80% de la gente fuma; el 70% de los que fuman toman

café; y hay un 40% que no toma café. (a) Son independientes los sucesos "tomar café" y "fumar"?

(b) Calcule la probabilidad que un individuo tomado al azar, tome café y no fume?$\dbigoplus $

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4) Se tiene una caja con 10 artículos de los cuales 3 son defectuosos. Se sacan

secuencialmente para inspeccionar tres artículos. Se pide calcular:

(a) La probabilidad que los tres sean buenos

(b) La probabilidad que salgan B,D,B en este orden

(c) La probabilidad que salgan justo 2 buenos

(d) Si se nos informa "salieron justo 2 buenos" , ¿Calcular la probabilidad que hayan

sido los dos primeros?

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5) En un taller hay tres máquinas A, B, y C que periódicamente requieren ajustes. Suponga

que en un día dado, la probabilidad que la máquina A requira ser ajustada es 0.10, para

la B es 0.15, y 0.20 para la C. Se pide calcular para un día:

(a) La probabilidad que las tres máquinas requieran ajustes

(b) La probabilidad que solo una máquina requiera ser ajustada

(c) La probabilidad que alguna máquina requiera ser ajustada

(d) Si recibimos la información "una sola máquina fué ajustada", ¿Calcular la

probabilidad que haya sido la A?

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7) En una localidad del interior del país hay dos bancos A y B. El 22% de los habitantes tiene

cuenta corriente en A, el 37% en B, y el 47% no tiene cuenta. Para un habitante elegido al azar:

(a) Calcular la probabilidad que tenga cuentas en ambos bancos?

(b) Si nos informan que "tiene cuenta en A" ¿Calcular la probabilidad que también la tenga en el B?

(c) Si nos informan que "tiene cuenta corriente" ¿Calcular la probabilidad que tenga en B?

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8) Tirando una moneda secuencialmente ¿Cuál es la probabilidad de tener 3 caras antes

de 2 cruces?

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9) Tirando una moneda secuencialmente, ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran 5 caras antes

de 2 cruces?

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10) Se tira una moneda hasta que el número de caras sea igual al de cruces. Hallar la probabilidad

de lograrlo antes del 8vo tiro?

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11) Un juego consiste en tirar un dado tantas veces como sea necesario hasta lograr que

la suma acumulada de 4 (por supuesto, puede excederse, en cuyo caso pierde). Se pide:

(a) la probabilidad de ganar?

(b) si no ganó ¿Cuál es la probabilidad que haya perdido por 1 punto?

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13) Un lote está formado por 12 artículos buenos y 8 defectuosos. Se desean dos

artículos defectuosos. Para ello se inspeccionan los artículos uno a uno, reteniendo

los defectuosos, y devolviendo al lote los buenos. ¿Cuál es la probabilidad de

tener que inspeccionar 4 artículos para lograr los 2 defectuosos?

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20) Una urna contiene 5 bolillas blancas y 8 negras. Se sacan las bolillas una a una, hasta dejar

la urna con igual número de bolillas de cada color. Calcular la probabilidad de lograr esto, por

primera vez, en la 5ta extracción?$\dsum $

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14) Sea un tirador que tiene probabilidad de acertar al blanco de 0.9. Pero en el caso

que el tiro anterior fuese un yerro, se pone "nervioso" y esta probabilidad disminuye

a 0.6. ¿Que probabilidad tiene de lograr el 2$\U{b0}$ acierto en el 4$\U{b0}$ tiro?

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15) Se tienen 10 cartones, uno de ellos marcado. Se los mezcla y son retirados secuencialmente

por 10 personas en fila. Suponga que el marcado es el cartón ganador.

¿Cuál es la mejor pósición en la fila? (justifique).

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12) Tres personas tiran una moneda en forma circular. El primero que obtiene cara gana.

¿Que probabilidad tiene cada uno de ganar? (tener en cuenta que el juego puede

continuar indefinidamente).

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16) Se tiran simultaneamente un dado y una moneda hasta que salga un 6 o una cara.

Hallar la probabilidad de que el 6 salga antes que la cara?

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17) Un señor tiene 7 hijos (todas mujeres!). Junto con su mujer, están analizando si conviene

seguir "buscando el varoncito". El opina que si el próximo hijo fuese mujer, tendría 8

mujeres. Pero a esta situación no le teme, ya que (razona), la probabilidad de tener 8

mujeres consecutivas es 0.5$^{\text{8}}$=0.004 demasiado baja. Por lo tanto aconseja continuar

la búsqueda. ¿Que opina Ud.?

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18) Una máquina fabrica artículos con el 10% de defectuosos (todos los defectuosos tienen

el mismo peso, pero menor que el de los buenos, que también es el mismo para todos).

Para mejorar la calidad se implementa un dispositivo que pesa cada par de artículos fabricados,

enviando a un "lote de venta" solo los artículos de los pares que tienen un peso similar, y el

resto va a un "lote de rezago". Se pide calcular el % de defectuosos en el "lote de venta" y

en el de "rezago"?

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19) Dos tiradores "a" y "b" tienen probabilidades de acertar al tirar un tiro al blanco de 0.4 y

0.7 respectivamente. Cada uno tiene 3 balas en el cargador. Cada disparo es efectuado

simultaneamente por ambos tiradores(a la vez). El torneo se termina cuando se les agotan las

balas, o cuando alguno acierta. Sabiendo que "a" acertó ¿Cuál es la probabilidad de que

también haya acertado "b", y que por lo tanto se declare empatado el torneo?$\dsum $

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Variable aleatoria discreta

1) Se tiran dos dados. Hallar la función de densidad de la variable aleatoria

X : "Suma de valores obtenidos".

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2) Un artículo puede presentar tres tipos de defectos A, B, y C con probabilidades

0.2, 0.3 y 0.4 respectivamente. Se supone que estos defectos ocurren en forma

independiente. Se pide hallar y graficar la función de densidad y de distribución

de la variable aleatoria X : "número de defectos por artículos".

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3) En la fabricación de cierto componente de producción en serie se sabe que el

15% no cumple con los estándares exigidos. Se desea analizar un componente

de los "imperfectos". Para ello se inspeccionan uno a uno los componentes, a medida

que se van fabricando, hasta encontrar uno "imperfecto". Se pide hallar y graficar la

función de densidad y de distribución de la variable aleatoria N : "número de componentes

que se tendrán que revisar hasta dar con el imperfecto"?

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Variable aleatoria Hipergeométrica

1) Una caja tiene 15 tornillos buenos y 3 defectuosos. Calcular la probabilidad que

al usar 5 tornillos, todos resulten buenos?

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2) Cuál es la probabilidad de que entre 6 cartas sacadas al azar de un mazo de

barajas francesas, se tenga:

(a) igual cantidad de negras que de coloradas?

(b) que las 3 primeras sean negras y las 3 segundas coloradas?

(c) que salgan en el orden NCNCNC?$\dbigoplus $

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3) Considere una lotería que vende 25 boletos y ofrece 3 premios. Se compran 5

boletos. ¿Cuál es la probabilidad de ganar algún premio?

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4) Se sacan cartas, una tras otra, de un mazo de barajas españolas.

(a) Calcular la probabilidad de que el primer as salga luego de la 10$\U{b0}$ extracción?

(b) Calcular la probabilidad de que el segundo as salga luego de la 10$\U{b0}$ extracción?$\dbigoplus $

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5) Un mago dice tener poderes extrasensoriales para adivinar el pensamiento. El gerente de un

circo, sabiendo que abundan los impostores, decide someter al mago a una prueba para evaluarlo.

Para ello sienta a una persona frente a una mesa, en que hay 10 cartas numeradas del 0 al 9. y se

le pide que "piense" intensamente en 2 de las cartas. A continuación se le pide al mago, que está

a unos 50 metros, que adivine las cartas "pensadas". Se repite todo esto unas 100 veces. El

resultado fué que el mago adivinó correctamente las dos cartas "pensadas" ,en solo 10 veces,

o sea un 10% de aciertos ¿Considera Ud que el mago es un impostor?

(Para resolver esto calcule que probabilidad de acertar tendría una persona que no tiene ningún

poder de adivinación, y que elige solo al azar).

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7) Se reparten las 40 cartas de un mazo de barajas españolas entre 4 jugadores. Calcular la

probabilidad que ninguno reciba mas de 2 ases?$\dsum $

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6) Un gerente llega último a una reunión, y deja el auto en el único lugar vacío de una fila para 10

vehículos, que no es uno de los dos extremos. Los 9 autos estacionados corresponden a los 9

gerentes que ya están reunidos. Terminada la reunión se queda conversando un rato, y decide irse

después que se han retirado 5 gerentes. ¿Calcular la probabilidad que hayan espacios vacíos justo

antes, y después de su vehículo?

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Variable aleatoria Hipergeométrica Generalizada

1) En una caja hay 20 tubos, de los cuales 6 tienen pequeños defectos, 2 tienen defectos graves

y el resto son buenos. Si se extraen 5 tubos (sin reemplazo) hallar la probabilidad de que:

(a) 2 sean buenos, 2 tengan pequeños defectos, y 1 tenga defectos graves?

(b) Los 5 sean de la misma calidad?

(c) Alguno tenga defectos graves, siendo la mayoría buenos?

(d) Más de 3 tengan defectos leves?

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2) Un lote está compuesto por 8 latas de pintura blanca, 5 verdes y 7 azules, pero no está

identificado el color en el envase. Se toman 6 latas al azar. Pero antes de abrirlas, se descubre

que el operario que llenó las verdes, anotó el color con lápiz, en el fondo de las latas, contándose

2 verdes en las 6. ¿Calcular la probabilidad de tener en total 3 de pintura blanca?

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Variable aleatoria Binomial

(1-9)(8-16)(6-7)(10)(11-12)(13)

1) Una máquina produce artículos con el 2% de defectuosos. Un cliente decide comprar un lote

grande, pero antes toma una muestra de 100 y rechaza el lote si hay más de 3 artículos defectuosos.

Calcular la probabilidad de rechazar el lote?

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2) Se tira un dado balanceado tres veces. Calcular la probabilidad de sacar un número impar o

múltiplo de tres, por lo menos una vez?

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14) Un tirador tiene probabilidad 0.4 de acertar al blanco. Calcular cuántos tiros debe efecuar si

quiere tener una probabilidad de 0.99 de acertar por lo menos una vez? (Rta: 9 tiros) $\dsum $

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3) Un cine tiene 100 asientos y no vende entradas a menos que se haya realizado la correspondiente

reserva. Habitualmente el 5% de las reservas no se concreta. El cine acepta 102 reservas.

¿Calcular la probabilidad de que haya más concurrentes que asientos?

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9) Un señor está esperando a una señorita en una esquina. Para distraerse tira una moneda.

Si sale cara camina una cuadra hacia adelante, y si sale ceca lo hace hacia atrás.

El señor tarda 3 minutos en caminar cada cuadra. Repite todo esto cada 3 minutos (o sea

cada vez que llega a una esquina). La señorita llega una hora tarde. ¿Calcular la probabilidad

que el señor se encuentre a más de cuatro cuadras de distancia?

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8) Un juego entre dos participantes consiste en tirar un dado y 8 monedas (anotando el número

de caras). Gana el que obtiene un número mayor. Si Ud. participa, que elegiría tirar, el dado

o las monedas?

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4) Sean dos tiradores A y B con probabilidades de acertar al blanco de 0.4 y 0.7 respectivamente.

En una competencia efectúan 10 disparos cada uno. Calcular la probabilidad:

(a) que empaten la competencia?

(b) que A gane la competencia?

(c) que B gane la competencia?

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5) Se reciben ciertos componentes en cajas de 10, de dos proveedores, A y B.

Los componentes de los proveedores A y B, tienen fallas con probabilidad 0.3 y 0.1

respectivamente. Se tienen dos cajas, una de cada proveedor. Se le indica a un operario, que

abra las cajas y separe los fallados. Si el operario informa que en total encontró 4 fallados, se pide:

¿Calcular la probabilidad que todos sean de A?

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15) Una máquina produce artículos con el 30% de defectuosos. Un operario quiere 3 defectuosos

para inspeccionarlos. Entonces fabrica 10 artículos, y separa los defectuosos. Pero si no logra los

3 defectuosos deseados, fabrica otros 10 artículos. Si se sabe que en total encontro 4 defectuosos,

¿Calcular la probabilidad de que no haya necesitado la muestra adicional?$\dsum $

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16) Una máquina fabrica artículos con el 20% de defectuosos. Se forman cajas con 10 artículos.

Los artículos defectuosos tienen un peso ligeramente inferior que los buenos. Dos cajas se

clasifican como de calidad similar si no es detectada ninguna diferencia de peso al colocarlas en

una balanza de platillos(la balanza acusa una diferencia de peso, cuando las cajas difieren en

más de 1 defectuoso). ¿Cual es la probabilidad de que dos cajas tomadas al azar sean

clasificadas como de calidad similar?$\dsum $

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6) El control de recepción de una pieza consiste en tomar una muestra de dos unidades de cada

caja de 10, y rechazar la caja en caso de encontrar alguna defectuosa. Si el proveedor entregó

15 cajas con una pieza defectuosa en cada caja ¿Cuál es la probabilidad de que le rechacen

menos de 3 cajas?

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7) Se efectuan 4 tiradas de 6 dados. Calcular la probabilidad de que en alguna tirada,

algún número se repita 4 o más veces?

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10) Se tiene una gran cantidad de pequeñas partículas esféricas en un medio líquido, de las cuales

el 20% está oxidada. Se quieren para su análisis 3 partículas oxidasdas. Para

extraerlas se dispone de una "cuchara" que tiene capacidad para 5 partículas. Entonces, se van

sacando "cucharadas", y acumulando las oxidadas de cada "cuchara", hasta lograr las requeridas.

Se pide calcular la probabilidad que se requieran justo 4 "cucharadas"?

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11) Un auditorio para grandes convenciones tiene una capacidad de 60 asistentes sentados.

La empresa que organiza el evento debe enviar invitaciones a un número mayor de personas,

ya que en otras situaciones similares, un 63% de los invitados no se presentó. ¿Calcular la

cantidad de personas invitar, si se desea correr un riesgo de solo el 5% de superar la

capacidad del auditorio?

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12) Un comerciante sabe que el 10% de las semillas que vende no germina. Las semillas las

vende en paquetes de 200. Se pide calcular que porcentaje de semillas puede garantizar

que germinarán por paquete, si quiere tener una seguridad del 95% de que esta garantía

sea válida?$\dbigoplus $

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13) Una prueba "multiple choice" está compuesta por 20 preguntas y 4 respuestas para cada

una de ellas. Un profesor debe decidir:

(a) Cuántas respuestas correctas debe exigir para aprobar, si el quiere que un alumno que

contesta al azar las 20 preguntas, tenga una probabilidad de aprobar de 0.05?

(b) En estas condiciones, que probabilidad de aprobar el exámen tiene un alumno, que

estudió, y contesta cada pregunta con probabilidad de acertar 0.8?

(c) Y la de un alumno que estudió solo la mitad del programa de la materia, y que contesta

con probabilidad de acertar 0.8 a las 10 primeras preguntas, eligiendo al azar las respuestas

de las últimas 10 preguntas?

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Modelo multinomial

1) Una caja tiene un gran número de bolillas rojas, blancas, azules y amarillas en

proporciones 4:3:2:1 respectivamente. Hallar la probabilidad de que al sacar 10

bolillas se encuentren:

(a) 4 rojas, 3 blancas, 2 azules y 1 amarilla

(b) 3 rojas y 2 amarillas

(c) 7 amarillas

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2) Una producción de pistones tiene el 6% de elementos demasiado grandes, y un

4% de elementos demasiado pequeños. Calcular la probabilidad de que al extraer

5 pistones al azar, por lo menos tres sean buenos y además haya a lo sumo uno

demasiado chico?

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3) Los señores A y B juegan una competencia que consiste en 10 partidos. En cada partido

cada uno tira un dado, y gana quién saca más puntos. Calcular la probabilidad que

empaten la competencia?

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4) En una fábrica hay 4 máquinas A, B, C, y D que producen el 30%, 20%, 10%, y 40%

de la producción total. Si se sabe que en 10 artículos tomados al azar de la producción,

exactamente 2 pertenecen a la máquina A ¿Cuál es la probabilidad de que haya también

exactamente 2 de la máquina B?

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5) En un campo las copetonas y perdices están en relación 30% y 70% respectivamente.

Un cazador que sale a cazar perdices y copetonas, tiene una probabilidad de acertar

cada tiro de 0.8. Si en 10 disparos cazó 3 perdices, ¿Cuál es la probabilidad de que

haya cazado también dos copetonas?

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6) Tirando un dado 5 veces, calcular la probabilidad

(a) que el mayor de los números obtenidos sea a lo sumo el 4?

(b) que el mayor de los números obtenidos sea el 4?

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Variable aleatoria de Pascal

(1-9)(11)(5)(7-8)(12-10)

1) En una producción de transistores el 40% es "aceptable". Se quieren 5 transistores

"aceptables". Calcular la probabilidad de que deban fabricarse

(a) exactamente 13

(b) menos de 13

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2) Un proceso de manufacura produce piezas con un porcentaje de defectuosas constante

del 9%.¿Cuál es la probabilidad de que haya que fabricar más de 16 piezas para

obtener 13 buenas?

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3) Se tiene una partida de aros de pistón producida durante un período de desajuste

del sistema de control de templado. La probabilidad de defectuosos es del 62%. La

aceptación o rechazo de un aro se basa en un ensayo individula de dureza, que lleva

un tiempo de 20 segundos. Si se necesita formar un lote de 700 buenos, ¿Cuál es la

probabilidad de que un inspector necesite

(a) menos de 9 horas

(b) menos de 10 horas

trabajando para obtener esa cantidad?

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4) El stock intermedio entre dos secciones A y B de una fábrica, es de 100 unidades.

Estas unidades ingresan al stock con una frecuencia constante de 1 por minuto, y

se retiran, mediante una selección al azar con la misma frecuencia, de modo que el

stock permanece constante. Se desea conocer la probabilidad que una unidad

permanezca en stock más de 20 minutos?

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6) Cierta pieza está formada por dos partes A y B, con porcentajes de defectuosos

del 5% y 10% respectivamente. Un inspector de calidad inspecciona las piezas

secuencialmente hasta encontrar 3 defectuosas (una pieza es defectuosa si alguna

de sus partes lo es). Calcular la probabilidad de tener que revisar más de 25 piezas?

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9) Un señor tiene en su bolsillo izquierdo una caja con 8 fósforos, y en el derecho otra

con 12. Cada vez que prende un cigarrillo, elige al azar, indistintamente, un bolsillo,

y prende un fósforo. ¿Calcular la probabilidad de que la caja de la izquierda se le acabe primero?

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11) Se tienen dos máquinas "a" y "b" que fabrican artículos con 30% y 50% de defectuosos

respectivamente. Se necesitan 2 artículos defectuosos de cada máquina. Para ello se fabrican

artículos con cada una, hasta obtener los 2 defectuosos requeridos. ¿Calcular la probabilidad

de tener que fabricar más artículos con la máquina "b"?$\dsum $

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5) Un fabricante de tubos de televisión debe entregar una partida de 50 unidades.

Se sabe que el 30% sale defectuoso. ¿Cuál debe ser la producción necesaria para

que la probabilidad de cumplir con la entrega sea del 95%?

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7) La embotelladora de la bebida cola TAB cierra sus envases con tres diferentes

tapitas: unas tienen dentro la letra T, otras la A y el resto la B. Suponga que las

diferentes tapitas están en igual proporción. Cuando alguien junta tres tapitas

diferentes, se le entrega un premio. Se pide hallar la función de densidad de la

variable aleatoria N : "número de botellas que habrá que comprar para obtener

el premio". (Calule solo P(N = 7) como ejemplo).

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8) Una señora descubre al llegar a su casa que se le ha roto el llavero y tiene las llaves

desparramadas por su cartera. La puerta de entrada a su casa tiene dos cerraduras

(recientemente hubo ladrones en el 10$\U{b0}$ B). La señora saca una llave y la prueba en

ambas cerraduras. Si no abre ninguna, devuelve la llave a la cartera y vuelve a sacar

otra al azar. Si abre alguna, deja la llave en la cerradura abierta, y sigue probando con

el resto en la otra cerradura (siempre devolviendo cada llave a la cartera), hasta que

logre abrirla. ¿Calcular la probabilidad de que deba probar 10 llaves en total?

(su llavero tiene 5 llaves).

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12) Se tiene una urna con 30B y 50N. Se sacan las bolillas secuencialmente. ¿Calcular la

probabilidad que en la extracción N$^{\circ }$60 se deje a la urna con bolillas de un solo color?$\dsum $

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10) Un comerciante minorista empaqueta para su venta 10 cajas de ciertos componentes.

Posteriormente descubre que 4 de ellas fueron llenadas con componentes de calidad inferior.

Entonces decide abrir las cajas para separarlas según sus calidades. ¿Cuál es la probabilidad

que deba inspeccionar 7 o más cajas?

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Teorema de las probabilidades totales

(1-3)(4-5)(8-6)

1) Suponga que el 5% de los hombres y el 0.75% de las mujeres es daltónico. Además

se sabe que el 51% de las personas son hombres. Calcular la probabilidad que una

persona elegida al azar sea daltónica?

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7) Hay una señorita a la que corteja cierto jóven. Ella trata de no llegar tarde a sus

citas con demasiada frecuencia. Cuando acude tarde a una cita, tiene una probabilidad

de 0.9 de llegar a horario a la siguiente. Si llega en hora a una cita, tiene una probabilidad

de 0.6 de llegar tarde a la siguiente cita. La señorita tiene una probabilidad del 95% de

llegar tarde a la primera cita. ¿Cuánto vale la probabilidad de que llegue tarde a

la tercera cita?

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2) La demanda de un servicio público puede tener tres niveles D$_{\text{1}}$, D$_{\text{2}}$, y D$_{\text{3}}$ con

probabilidades 0.6, 0.3 y 0.1 respectivamente. La probabilidad que el servicio sea

inadecuado bajo la demanda D$_{\text{1}}$ es 0.05, bajo la demanda D$_{\text{2}}$ es 0.1, y bajo la

demanda D$_{\text{3}}$ es 0.5. Se pide calcular la probabilidad que el servicio sea inadecuado?

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3) Por una ruta pasan vehículos colectados por dos subrutas A y B. Los vehículos de A

están compuestos por un 10% de camiones, y los de B por un 20% de camiones.

A su vez, el 40% de los vehículos que circulan por la ruta provienen de A, y el resto de B.

¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 vehículos tomados al azar de la

ruta colectora, se encuentren 2 camiones?

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4) Sean dos tiradores A y B con probabilidades de acertar al blanco de 0.5 y 0.7

respectivamente. Si A efectúa 10 disparos, y B tantos como número de aciertos tuvo A,

¿Cuál es la probabilidad de que B tenga más de 2 aciertos?$\dbigoplus $

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5) Se tienen dos urnas U$_{\text{1}}$ con MATH , y U$_{\text{2}}$ con MATH. Se pasan 2 bolillas

de U$_{\text{1}}$ a U$_{\text{2}}$. Luego se forma una tercera urna con 10 bolillas de U$_{\text{1}}$ y 6 bolillas de U$_{\text{2}}$.

¿Calcular la probabilidad de tener igual número de blancas y negras en esta urna?

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8) En un colegio el 20% de las familias tiene 1 solo hijo, el 40% tiene 2, el 20% tiene 3, y el

20% tiene 4 o más. Se toma una familia al azar. Sabiendo que tiene menos de 4 hijos ¿Calcular

la probabilidad de que tenga exactamente 1 varón? (Rta = 15/32).$\dsum $

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6) Se inspeccionan una a una las cartas de un lote de barajas francesas hasta sacar

un as. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar 5 cartas adicionales (o menos si ya se

termina el mazo), se tenga exactamente un as?

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Teorema de Bayes

(1-7)(4-5)(6)(8)

1) Un automovilista hace recargar la batería de su vehículo y pide que le efectúen una

carga lenta. Dicho automovilista admite que, a pesar de su pedido, es posible que le

efectúen una carga rápida, asignándole a este hecho una probabilidad del 20%.

Su experiencia le indica que si la carga es lenta, la batería dura más de un año con

probabilidad 0.9. Si la carga es rápida, en cambio, esta probabilidad se reduce

al 40%. Si la batería falla antes del año, ¿Cuál es la probabilidad que la carga

haya sido rápida?

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2) Suponga que en un taller hay 5 máquinas.Normalmente la producción de cada

máquina tiene un 2% de artículos defectuosos. Cierto día se llama a un técnico para

que calibre una de las máquinas ya que fabrica con 5% de defectuosos. El técnico

aparece por el taller a primera hora del día siguiente. Como nadie sabe indicarle

cuál es la máquina a calibrar, el decide elegir una máquina al azar y empezar a

fabricar artículos con ella. Si el primer artículo defectuoso es el 17$\U{b0}$ ¿Calcular la

probabilidad que esa máquina sea la que hay que calibrar?

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3) En un intento de alunizaje de un cohete teledirigido la probabilidad de un descenso

satisfactorio es 0.8. La probabilidad que el sistema monitor de la información

correcta sobre el alunizaje es de 0.9, ya sea que el mismo haya sido o no

satisfactorio. Si se efectúa un lanzamiento, y el sistema monitor indica que ha

sido satisfactorio el alunizaje ¿Cuál es la probabilidad de que realmente lo haya sido?

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7) En un taller hay varias máquinas. Una máquina esta bien regulada si el 2% de su producción

es defectuosa; y mal regulada si el 10% es defectuosa. Usualmente el 90% de las máquinas

estan bien reguladas. Se fabrican 10 artículos con una máquina, encontrando 1 defectuoso.

¿Calcular la probabilidad que este mal regulada?$\dsum $

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4)Un canal de comunicaciones opera transmitiendo dígitos binarios 0, ó 1. Se sabe

que la probabilidad de transmisión correcta de un 0, es 0.7; y la probabilidad de

transmisión erronea de un 1, es 0.2. La frecuencia de transmisión de un 1 es del 40%.

Si se transmite un dígito:

(a) Cuál es la probabilidad de recibir un 1?

(b) Cuál es la probabilidad de recibir un número erroneo?

(c) Si se recibe un 1 ¿Cual es la probabilidad de que en realidad se haya

transmitido un cero?

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5) En un sistema de transmisión, se transmiten las señales 000 y 111, ambas con

igual frecuencia. Si la probabilidad de error en la transmisión de cada dígito es del 1%,

y se recibe la señal 101, ¿Cuál es la probabilidad de que se haya querido transmitir

un 111?

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6) Se tienen 2 monedas, ambas "cargadas". Una tiene probabilidad 0.6 de que caiga

en cara, y la otra 0.3. Un jugador elige al azar una moneda y la tira 2 veces.

Si en ambos tiros obtiene cara ¿Calcular la probabilidad de que si la tira otra vez

resulte también cara?

Nota: este problema no es de Bayes, pero igual corresponde que esté aquí.

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8) En las especificaciones de un test diagnóstico como el ELISA, utilizado para detectar HIV

en los bancos de sangre, figuran la sensibilidad(s) y la especificidad(e) del test. La sensibilidad

mide, en individuos con la enfermedad(E), en que proporcion el test da +, o sea s = P(+/E);

que en el caso del ELISA es s = 0.995. La especificidad mide, en individuos sanos(MATH), en que

proporción el test da -, o sea e = P(-/MATH); que para el ELISA es e = 0.998. Ambos valores son

muy altos. Sin embargo, cuando alguien va a donar sangre, y le informan que el resultado del test

fué +, la pregunta que le surge es: "que probabilidad tengo de tener HIV". Concretamente habrá

que calcular lo que se denomina valor predictivo positivo(vpp) del test. O sea: vpp = P(E/+).

Un dato que se necesita para calcular esta probabilidad, es la probabilidad "a-priori" que una

persona tenga la enfermedad, o sea P(E). Consultando la página www.datos.bancomundial.org

para la Argentina surge que P(E) = 0.004$.$

(a) Calcular el vpp = P(E/+) del ELISA? (Rta: 0.66).

Por otro lado, y esto le interesa al banco de sangre, se analizará que ocurre si el resultado del test

es -. La pregunta natural es "que probabilidad hay que la persona realmente este sana". En este

caso habrá que calcular el valor predictivo negativo(vpn) del test. O sea: vpn = P(MATH/-).

(b) Calcular el vpn = P(MATH/-) del ELISA? (Rta: 0.9999798).

En definitiva: el ELISA es económico y muy conveniente para los bancos de sangre, ya que si

el test da -, se tiene casi la certeza total que la sangre no tiene HIV. Sin embargo para el que

va a donar sangre, si le da +, no hay plena seguridad de que tenga HIV ya que el vpp es del 66%.

En este caso el donante deberá hacerse una prueba de confirmación con un test más potente

como el WESTERN BLOT.

Por último, considerese el caso del médico que al atender a un paciente, le detecta síntomas

clínicos que sospecha pueden ser debidos a una infección por HIV. Entonces le indica que

concurra a un laboratorio para que le efectuen un ELISA. Notar que en este caso, para el médico,

la probabilidad "a-priori" que el paciente tenga la enfermedad ya no es P(E) = 0.004 como

se supuso en el caso del banco de sangre, sino un valor mucho mayor(debido a los síntomas

clínicos), por ejemplo de: P(E) = 0.20. Si el paciente se hace el test y le da +, se pide:

(c) Calcular el vpp = P(E/+) del ELISA en esta situación? (Rta: 0.992).

O sea, en este caso mejora mucho el vpp del ELISA.$\dsum $

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Variable aleatoria continua

1) Sea una variable aleatoria X, que tiene como función de densidad

f$_{\text{X}}$(x) = 2x para 0$\leq $x$\leq $1, y cero para otro x. Calcular:

(a) F$_{\text{X}}$(x) (b) P(X<MATH) (c) P(MATH< X <MATH) (d) P(X >MATH/ X>MATH)

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2) Sea T la vida útil de un componente electrónico, cuya densidad es

f$_{\text{T}}$(t) =MATH donde T se mide en miles de horas

(a) Calcular la probabilidad que un componente funcione sin fallas 1000 horas?

(b) Si un componente ya lleva funcionando 1000 horas, ¿Cual es la probabilidad

de que funcione 1000 horas más?

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3) Sea f$_{\text{T}}$(t) = MATH la función de densidad correspondiente a la

duración en minutos de una llamada telefónica. Si en una mañana se efectuaron 10

llamadas, calcular la probabilidad de tener:

(a) más de dos llamadas de duración superior a los 15 minutos?

(b) exactamente 2 llamadas de duración superior a los 15 minutos y 3 cuya duración

sea inferior a los 5 minutos?

(c) Alguna llamada de duración superior a los 20 minutos,sabiendo que todas duraron

más de 5 minutos?

(d) Alguna llamada de justo 10 minutos?

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4) En la fabricación de ciertos ejes, el diámetro X es una v.a. con densidad

f$_{\text{X}}$(x) =MATH .

(a) En 10 ejes elejidos al azar, ¿Cuál es la probabilidad de tener exactamente 3 de diámetro

superior a 2?

(b) Se venden solo los ejes que tienen un diámetro superior a 1. Un cliente compra 10 ejes.

¿Cuál es la probabilidad de tener exactamente 3 de diámetro superior a 2?$\dbigoplus $

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

5) Supongamos que la vida en horas de un cierto tipo de lámpara de radio tiene por densidad

f$_{\text{T}}$(t) = MATH

(a) ¿Cuál es la probabilidad que de tres de estas lámparas, ninguna tenga que ser

reemplazada en cierto aparato, en las primeras 150 horas de uso?

(b) ¿Cuál es la probabilidad que las tres lámparas tengan que ser reemplazadas

durante las primeras 150 horas de uso?

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6) Una estación de servicio recibe combustible una vez por semana. Si su volúmen

semanal de ventas, en $10^{4}$ litros, se distribuye según una variable aleatoria X,

cuya densidad es f$_{\text{X}}$(x) =MATH ¿Cuál debe ser la capacidad de su

depósito, de modo que la probabilidad de que se agote durante la semana sea 0.01?$\dbigoplus $

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

7) Los artículos producidos por una máquina "A" tienen un peso que es una variable

aleatoria A, con densidad f$_{\text{A}}$(a) =MATH ; Hay otros artículos, que

fabrica la máquina "B", cuyo peso es una variable aleatoria U(0;3). Un artículo es defectuoso

si pesa menos de 1 gr. Además se sabe que el 30% de la producción es de A.

Se toma una muestra de 10 artículos de la producción total.

(a) Si se sabe que hay 3 artículos de la máquina A, ¿Cual es la probabilidad

de tener exactamente 2 defectuosos de la B?

(b) Si se sabe que hay 3 artículos defectuosos, ¿Cual es la probabilidad de tener exactamente

5 buenos de la B?$\dbigoplus $

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Media y varianza de una variable aleatoria

1) Se tira 5 veces una moneda. Se denomina "racha" a toda secuencia de resultados iguales.

¿Calcular el número medio de "rachas"? (Ej: csscc tiene 3 "rachas", y ccccc tiene 1).

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2) Se tira una moneda hasta que salgan dos caras seguidas o dos cecas seguidas. Calcular

$\mu $ y $\sigma $ del número de tiros necesarios?

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3) En una ciudad hay una epidemia. Tal enfermedad se combate con antibióticos.

La probabilidad de curación con la primera inyección es 0.4. La probabilidad de

curarse con la segunda si no se curó con la primera, es 0.7. La probabilidad de

curarse con la tercera si no se curó con las dos primeras es 0.9. Finalmente la

probabilidad de curarse con la cuarta si no se curó con las anteriores es 1.

(a) Hallar la densidad de la cantidad de inyecciones que necesitara una persona

para curarse de dicha enfermedad?

(b) Calcular el número medio de inyecciones necesarias para curarse?

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4) Un procedimiento de muestreo de aceptación en dos etapas consiste en:

- Tomar al azar tres artículos: si no hay defectuosos se acepta el lote, si todos son defectuosos

se rechaza; y en caso contrario:

- Se toman 10 artículos adicionales: aceptándose el lote solo en el caso en que el total de

defectuosos (con los anteriores) sea a lo sumo 2, y rechazando en caso contrario.

Suponga que en el lote el 10% de los artículos son defectuosos.

(a) Calcular la probabilidad de aceptar el lote?

(b) Calcular el número medio de artículos a muestrear para arribar a una decisión?$\dbigoplus $

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

5) Suponga que en la elaboración de cierta droga que se envasa en frascos, se debe

asegurar la ausencia de cierto contaminante. En principio el técnico químico debería

hacer un análisis de cada frasco, y descartar para la venta los que presenten contaminación.

Como eston análisis son caros, y teniendo en cuenta que usualmente solo el 5% de los

frascos presentan contaminación, el decide tomar lotes de 5 frascos, sacarles un pequeño

volúmen de droga a cada frasco, juntar las 5 muestras en una sola, y hacer un solo análisis.

Si da negativo, esto significa que los 5 frascos son buenos, y listo. Si da positivo, hay por

lo menos un frasco con contaminación. Entonces el técnico debe analizar los 5 frascos.

Se pide calcular el número medio de análisis que deberá realizar el técnico por cada lote

de 5 frascos, y deducir de aquí el % de disminución en el costo de estos análisis, al

utilizar la metodología comentada?$\dbigoplus $

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Cambio de variable y esperanza generalizada

(0-10)(4-11)(1-8)

0) Una máquina que llena botellas de 2 litros, envía por cada botella una cantidad de líquido

que es una variable aleatoria X con densidad f$_{\text{X}}$(x) =MATH

(a) Calcular $\mu $ y $\sigma $ del líquido rebalsado por frasco?

(b) Si R es el líquido rebalsado por frasco, calcular:

$\blacklozenge $ P(R$\leq $0.4) ?

$\ \blacklozenge $ P(R$=$0.4) ?

$\ \blacklozenge $ P(R$=$0) ?

(c) Calcular $\mu $ y $\sigma $ del líquido contenido en cada frasco?$\dsum $

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

2) Cierta máquina produce cilíndros de 10 cm de altura, cuyo radio es una variable

aleatoria con densidad Sea f$_{\text{R}}$(r) =MATH. La densidad del material

es de 0.007 gr/cm$^{\text{3}}$. ¿Calcular la media y el desvío estándar del peso de los cilíindros?

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12) Se reciben varillas de 12m. Se cortan a una distancia X de un extremo, siendo

f$_{\text{X}}$(x) = 2x/64 para 0<x<8m. Resultan dos varillas. Se vende como de 1ra calidad solo la mayor.

(a) Calcular $\mu \ $y $\sigma $ de las varillas de 1ra calidad?

(b) Calcular la probabilidad de que una varilla de 1ra calidad tenga longitud mayor que 7m?$\dsum $

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13) Se tiene un gran rollo de hojalata de 10cm de ancho. Se fabrican envases cilíndricos con

el siguiente procedimiento: se corta un trozo de longitud X donde f$_{\text{X}}$(x)=$\frac{1}{12^{3}}$x$^{2}$(x-12) para

0<x<12cm; se enrolla y suelda formando un cilíndro de 10cm de altura, y se le sueldan de

hojalata las dos tapas. Interesa estudiar S: superficie total de hojalata del cilindro. Se pide:

(a) Calcular $\mu $ y $\sigma $ de S?

(b) Calcular la probabilidad que la superficie total sea menor que 100cm$^{2}$?

Nota: Sup. cículo = $\pi r^{2}$; Long. circunferencia = $2\pi r $.$\dsum $

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

7) Un señor tiene en una botella cierta cantidad de vino que supondremos una variable

aleatoria con densidad f$_{\text{X}}$(x) =MATH. El toma vino en vasos

de 250 cm$^{\text{3}}$. Calcular la media de la cantidad de vasos enteros que se puede servir?

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9) La duración de una llamada telefónica tiene por función de densidad

f$_{\text{T}}$(t) =MATH con t en minutos. Se facturan $2 por cada 3 minutos

o fracción. ¿Calcular media y desvío del costo de cada llamada?

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10) Suponga que una generador tiene una pieza importada de difícil reposición, que falla

debido a errores accidentales en un tiempo T (en horas) que es una variable aleatoria con

densidad

f$_{\text{T}}$(t) =MATH .Se va a emprender un trabajo que requiere el

funcionamiento de este generador por 100 horas. El costo de operación por hora de

funcionamiento es de $7. Ahora, si la pieza falla antes de terminar el trabajo, se debe

contratar a un equipo externo, que cobra $10 por hora, con un mínimo de $200.

Se pide calcular el costo medio de el trabajo emprendido?

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4) Una máquina fabrica cierto tipo de esferitas que tienen un radio que es una variable

aleatoria con densidad f$_{\text{R}}$(r) =MATH (la densidad del material es 7.8gr/cm$^{\text{3}}$).

Se toma una muestra de 50 esferitas, encontrando 35 cuyo peso es superior a los 261 gr.

¿Cuál es la probabilidad de tener alguna esferita que pese menos de 32 gr?

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11) Una compañía tiene $100.000 disponibles para invertir en una nueva planta. Si las

condiciones de los negocios son tales que continúan como están, la inversión

redituará el 10%, pero si hay una leve recesión redituará solamente el 2%. El dinero

puede también invertirse en bonos del gobierno, que aseguran un rédito del 3%.

¿Que probabilidad debe la gerencia asignar a una recesión, para decidirse por los

bonos del gobierno?

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1) En la fabricación de municiones de P$_{\text{b}}$ los diámetros de las mismas se distribuyen

uniformemente entre 2 y 4 mm. Hallar la función de $\QTR{bf}{densidad}$ del peso de las

municiones, su media y su desvío estándar. ($\rho $ = 8 gr/cm$^{\text{3}}$)

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3) Se toma un alambre de 4m y se elige al azar un punto. Luego se dobla por el punto

en angulo recto formando un triángulo rectángulo. Calcular:

(a) La $\QTR{bf}{densidad}$ de la superficie del triángulo?

(b) Su media y su desvío estándar?

(c) La probabilidad que un triángulo así construído tenga una superficie inferior a 1?$\dbigoplus $

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

5) Sea un producto que se envasa en botellas de 200 cm$^{\text{3}}$. El pico de llenado envía una

cantidad de líquido que es una variable aleatoria con densidad

f$_{\text{X}}$(x) =MATH . El costo del líquido es de $4/cm$^{\text{3}}$. El precio de

venta de cada botella depende de la cantidad de líquido que tenga, y su precio unitario

es de $6/cm$^{\text{3}}$. Se pide hallar:

(a) la función de $\QTR{bf}{densidad}$ de la ganancia por botella?

(b) su media?

(c) su desvío estándar?

(d) La probabilidad que la ganancia obtenida al vender una botella sea inferior a $200?

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6) Sea una botella de 10 cm$^{\text{3}}$. La máquina envasadora envía una cantidad de líquido

que es una variable aleatoria X, con densidad f$_{\text{X}}$(x) =MATH.

Hallar k, y calcular la $\QTR{bf}{densidad}$ y el valor medio de:

(a) la cantidad de líquido rebalsado?

(b) la cantidad de líquido en la botella?$\dbigoplus $

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8) Sea X una variable aleatoria con la densidad indicada en la figura. Dibujar a mano

alzada la $\QTR{bf}{densidad}$ de una variable aleatoria Y siendo

graphics/guiaing__145.png

(a) Y = 2X

(b) Y = 0.5X

(c) Y = X +1

(d) Y = X$^{\text{2}}$

(e) Y = $\sqrt{\text{X}}$

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Variable aleatoria Normal

1) En la fabricación de un eje, cuya especificación es de 30 $\pm $ 0.02 mm, se encontró

luego de fabricados 500 ejes (con calibre pasa-no pasa) que había 33 piezas bajo medida

y 5 sobre medida. ¿Que porcentaje de piezas resultará rechazado si se cambia la

especificación a MATHmm ? (suponer que los diámetros se distribuyen

normalmente).

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2) El tiempo de armado y cierre de una caja de calzado, se distribuye según una normal.

Dado las características propias de los operarios, dos de ellos lo hacen con un valor medio

de 1 minuto, y desvío 0.2 min, y otros tres con media 1.2 min. y desvío 0.3 min. ¿Cuál

es la probabilidad que una caja tarde menos de 1.3 minutos en ser armada y cerrada?

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3) El peso de cierto producto es N(10;2) gr. Una norma especifica un peso entre 8 y 12 gr.

Los artículos que cumplen con la norma se venden a $10 cada uno. Los de peso superior

a la norma se venden a $15 cada uno. El resto, se vende como descarte a 0.4$/gr.

El costo de material es de 0.5$/gr. ¿Cuál es el valor medio de la ganancia por artículo?

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4) El coeficiente intelectual de los especialistas egresados del MIT siguen una ley normal

N(100;10). Si en una empresa se contrata a 10 especialistas tras una prueba que garantiza

un coeficiente intelectual de por lo menos 100, calcular la probabilidad que alguno de

los integrantes supere un coeficiente de 110, valor necesario para realizar un trabajo

avanzado de desarrollo?

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5) Una empresa constructora recibe el 70% de los días, hormigón de un proveedor A,

que tiene una resistencia N(200;30) Kg/cm$^{\text{2}}$. El resto lo compra a otro proveedor B, que

es de mejor calidad, y tiene una resistencia N(190;10) Kg/cm$^{\text{2}}$. Si en un día se

ensayaron 4 probetas a compresión hasta 175 Kg/cm$^{\text{2}}$, y solo una se rompió. ¿Cuánto vale

la probabilidad de que provengan de B?

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6) Se recibe un lote de varillas de madera cuya longitud es N(5;1.5) m. Se las fracciona

en tramos de 3 metros, sobrando un remanente. Se pide:

(a) Longitud media de las varillas sobrantes?

(b) Si las sobrantes de más de 2m pueden venderse (por supuesto que a un precio

inferior) ¿Que % de las varillas sobrantes pertenece a esta categoría?

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7) Cierto artículo tiene un peso W$\sim N(12;4)$ gr. y se vende a 3$/gr siempre que su peso este

entre 10 y 16gr(la especificación). Si pesa menos de 10gr se vende como rezago a $30, y en

caso de pesar mas de 16gr se vende a $48. Se pide: (a) Hallar la $\QTR{bf}{densidad}$ del precio de venta

por artículo? (b) Calcular su media y varianza?$\dsum $

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Truncamiento de una variable aleatoria

1) Cierta máquina fabrica artículos cuyo porcentaje de defectuosos es del 20%. y se

los empaqueta en cajas de 10. Posteriormente se separan para no vender aquellas cajas que

tengan más de dos artículos defectuosos. Calcular el número medio de artículos defectuosos

en las cajas que se venden?$\dbigoplus $

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8) Un operario tiene que seleccionar 2 artículos de calidad extra de la producción de una

máquina (solo el 30% tiene esa calidad) Si se sabe que revisó no mas de 8 artículos

(a) ¿ En promedio, cuántos revisó?

(b) Calcular la probabilidad de que haya revisado 5 o menos?$\dsum $

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

2) Una máquina envasadora de productos medicinales envía una cantidad de líquido

por frasco, que es una N(50;8) cm$^{\text{3}}$. Cada frasco tiene 55 cm$^{\text{3}}$. Se pide calcular el

valor medio del líquido:

(a) rebalsado por frasco?

(b) rebalsado por frasco, que rebalsa?

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7) El contenido de materia activa en cada frasco de una droga es C~N(50;15)cm$^{3}$. Como

la especificación del producto es MATHcm$^{3}$. se separan para vender los frascos que cumplen

la especificación, enviando a un lote de descarte el resto. Posteriormente se descubre que para

otros fines se admite una especificación mas amplia de MATHcm$^{3}$. Se decide entonces revisar

el lote de descarte, seleccionando los frascos que cumplen con esta nueva especificación.

(a) Calcular el contenido medio de materia activa en estos frascos seleccionados?

(b) Calcular el porcentaje de frascos recuperados en el lote de descarte?$\dsum $

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6) Se arrancan dos máquinas similares, una con un repuesto importado, nuevo, cuya duración es

X~N(100;30)hs; y la otra con un repuesto nacional, nuevo, cuya duración es Y con densidad

MATHpara $y\geq 0$.

(a) Calcular el tiempo medio que funcionara cada máquina? (Rta: MATH).

(b) Han transcurrido 100hs y ninguna máquina se detuvo. Surge un nuevo trabajo que requiere

un uso continuo de 50hs de máquina(sin que se detenga). Hay que decidir cual de las máquinas

conviene utilizar. Para ello calcule la probabilidad de terminar este trabajo con cada una de estas

máquinas. Cuál máquina conviene usar? (Rta: las probabilidades de terminar el trabajo son 0.0956

y 0.5353 respectivamente. Luego conviene la segunda máquina).$\dsum $

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3) Cierto tipo de artículos tiene un peso N(10;2) gr. Control de calidad permite vender

los que pesan más de 8 gr., y los tipifica como de calidad A. Además hay otros artículos

tipificados como de calidad B, cuyo peso es N(11;1) gr. Se forman cajas con 5 artículos

de A y 5 de B. Una norma especifica para un artículo un peso superior a 9 gr.

Un cliente decide comprar una gran partida de cajas, para lo cuál inspecciona una muestra

de 100 cajas, y rechaza la partida si hay más de 2 cajas defectuosas. Una caja es defectuosa

si alguno de los artículos no cumple con la norma. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar

la partida?

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4) La proporción en peso de estaño, en una varilla para soldar de plomo y estaño, se distribuye

según la densidad f$_{\text{X}}$(x) = 4(1 - x)$^{\text{3}}$ para 0 $\leq $ x $\leq $ 1. La máquina que las fabrica procede así:

primero envía una dosis de estaño en un molde, y luego completa con plomo hasta totalizar

los 140gr. que es el peso final de la varilla. El estaño cuesta $6700/Kg, y el plomo $1900/Kg.

(a) Calcular el costo medio de cada varilla?

Como hay varillas que presentan demasiado poco estaño y no sueldan bien, se piensa instalar

un sistema automático que detenga el proceso (no completando con plomo el molde, o sea no

permitiendo la aleación) cada vez que la proporción de estaño sea inferior al 16%.

(b) Calcular el costo medio de cada varilla despues del instalar el sistema automático?$\dbigoplus $

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5) La relación entre tensión de alimentación V$_{\text{A}}$ y tensión de salida V$_{\text{S}}$ en un circuito es:

V$_{\text{S}}$ = MATH. La tensión de alimentación es N(114;19) v.

(a) obtener el valor medio de la tensión de salida?

(b) si se instala un dispositivo que corta la tensión de alimentación toda vez que esta

supera los 120 v ¿Hallar el valor medio de la tensión de salida en estas condiciones?

Nota: Cuidado con la parte (b)! No es truncamiento.

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Mezcla de variables aleatorias

1) Una partida de arrancadores para tubos fluorescentes contiene dos tipos de

arrancadores: el A con un tiempo medio de encendido de 3 seg. y un desvío de 0.5 seg;

y el B con un tiempo medio de 4 seg. y desvío de 0.65 seg. Además suponga que en la

partida el 70% de los arrancadores son tipo A.

(a) cuál es la media y el desvío del tiempo de encendido de los arrancadores que forman

la partida?

(b) si se supone que ambas distribuciones de tiempo de encendido son normales ¿Cuál

es la probabilidad que un arrancador tomado al azar tenga un tiempo de encendido

superior a los 4.5 seg?

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2) Un señor tiene dos damajuanas de vino. Una de ellas, de 5 lts, está llena, sin abrir. La

otra es de 10 lts., pero como ha sido empezada, se supone que la cantidad de vino que

contiene es una variable aleatoria N(6;1) lts. Llega un vecino y le pide vino. El señor le

dice que se lleve una de las damajuanas que tiene en su bodega. ¿Calcular media y desvío

de la cantidad de vino que le quedará al señor en los siguientes casos:

(a) el vecino elige una damajuana al azar?

(b) el vecino siempre elige la damajuana con más vino?

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3) Una máquina produce piezas de peso N(10;3) gr. Luego de fabricados se los clasifica

en tres tipos: A de peso menor que 8 gr., B de peso entre 8gr y 12 gr, y C de peso

mayor que 12gr. Posteriormente sale una norma que especifica para estas piezas un peso

entre 9 y 13 gr. Un cliente quiere comprar un lote de 1000 piezas. Ventas ordena que el

lote esté constituído por 900 piezas tipo B y 100 tipo C. Para decidir su compra, el cliente

toma una muestra al azar de 10 piezas y rechaza el lote si hay más de uno que no cumple

con la norma. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar el lote?

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4) La producción de una máquina es N(13;3) gr. Los artículos cuyos pesos están comprendidos

entre 10 y 14 gr se tipifican como de calidad A, y el resto (que no es permitido vender) se

tipifican como de calidad H. Posteriormente sale otra disposición que amplía el rango de

8 a 16 gr. Entonces se decide mezclar en proporciones 30% y 70% a los artículos A y H,

y se forman cajas con dos artículos de esta mezcla. Un cliente quiere comprar un lote de

cajas, para lo cuál emplea el siguiente plan de muestreo: inspecciona secuencialmente

las cajas hasta encontrar 3 defectuosas, rechazando el lote si esto ocurre antes de

inspeccionar la octava caja (una caja es defectuosa si alguno de sus artículos no cumple

con la nueva norma). ¿Calcular la probabilidad de rechazar el lote?

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5) En un proceso químico se necesita como catalizador la presencia de Ag con una pureza

superior al 99.2%. Aunque usualmente es suficiente con una barra de Ag, se colocan

preventivamente dos barras. El 82% de las barras que se consumen son de orígen

nacional con una pureza N(99.4; 0.1)%. El resto son importadas y tienen una pureza

N(99.5; 0.12)%. ¿Cuál es la probabilidad que el proceso funcione correctamente si se

toman al azar dos barras del almacén?

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Proceso de Poisson

1) Un sistema esta compuesto por dos elementos I y II, que fallan al azar en promedio una

vez cada 400 y 600 horas respectivamente. El sistema falla cuando cualquiera de dichos

elementos falla. ¿Cuál es la probabilidad que el sistema falle después de transcurridas las

primeras 800 horas?

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2) Un libro tiene errores a la Poissón a razón de $\beta $ = 1.3 err/pág. Se revisan secuencialmente

todas las páginas hasta encontrar una con tres o más errores. Calcular la probabilidad

de lograrlo en la página 7?

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3) A una inmobiliaria llegan clientes según un proceso de Poissón con intensidad 0.5 cl/hora.

Si el negocio permanece abierto 2 horas a la mañana, y 3 a la tarde ¿Calcular la

probabilidad que a la tarde concurran más clientes?

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4) Una señor llega a un lugar donde hay dos teléfonos públicos. Suponga que la duración de

una llamada telefónica se distribuye según una G(1;0.2) min.

(a) Si justo al llegar, ambos teléfonos son ocupados por dos personas ¿Calcular la

probabilidad que el señor tenga que esperar menos de 7 minutos para poder hablar?

(b) Si al llegar, ambos teléfonos ya están ocupados por dos personas ¿Calcular la

probabilidad que el señor tenga que esperar menos de 7 minutos para poder hablar?

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5) Los rollos de encordado de rayón para neumáticos tienen un promedio de 2.2 nudos/metro.

Se utiliza para cada neumático de un cierto tipo 1.2m de encordado. Se rechaza un corte dado

si tiene más de 5 nudos. ¿Que probabilidad hay que un inspector tenga que revisar menos

de 20 neumáticos para encontrar 15 buenos?

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6) Ciertas piezas se rompen a la Poisson a razón de una cada 8 días, y además de la puesta

en máquina hay 2 piezas de repuesto en inventario. Suponga que el nuevo suministro de

piezas llegará en 12 días. ¿Cuál es la probabilidad que se detenga la producción por

falta de repuestos por uno o más días?

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7) La llegada de pasajeros a una parada de colectivos se puede considerar que es a la Poissón

con $\beta $ = 0.5 pas./min. (salvo el último minuto en que este $\beta $ se incrementa a 2 pas/min. debido

a la cercanía del vehículo). Suponga que los colectivos llegan exactamente cada 5 minutos.

¿Calcule la probabilidad que suban menos de 3 pasajeros?

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8) Cierto aparato electrónico tiene una pieza que falla a la Poissón a razón de una falla cada

1000 días.

(a) Cuál debería ser el tiempo de garantía si se quiere una probabilidad del 95% de no tener

que repararlo en ese tiempo?

(b) Y si se decide entregar el aparato con un repuesto ¿Cuál debe ser el plazo de garantía

en este caso?

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9) En un proceso de fabricación se efectúa un taladrado en forma automática, siendo el

promedio de roturas de 30 mechas cada 500 agujeros. Se sabe además que la rotura se

produce en cualquier punto del agujero, siendo posible romper varias mechas en el mismo.

¿Cuál es la probabilidad que al perforar 8 agujeros, en por lo menos 3 no se haya roto

ninguna mecha?

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10) Se deben entregar 4 copas de cristal de primera categoría (sin poros). Los poros aparecen al

azar en la masa cristalina, a razón de 1 cada 30 cm$^{\text{3}}$, y cada copa tiene un volúmen de cristal

de 36 cm$^{\text{3}}$. Se desea calcular el número de copas a fabricar para satisfacer el pedido con

una seguridad del 90%?

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11) En un circuito entran en serie dos elementos similares, que se obtienen del almacén al

armarlo. En el almacén hay 80% de estos elementos de calidad A, cuya vida media es

de 2000 horas, y 20% de calidad B, con vida media 1000 horas. Sabiendo que un circuito

hace 2000 horas que funciona, calcular la probabilidad que contenga al menos un

elemento de calidad A?

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12) Una carpintería recibe el 30% de las tablas (de 0.5m x 1.2m) para la construcción de

placards, de un aserradero A, y el resto de B. Las tablas del aserradero A presentan

nudos con intensidad 0.25 nudos/m$^{\text{2}}$ y las de B 0.1 nudos/m$^{\text{2}}$. Al revisar al azar las

tablas de una partida recién recibida, se encuentra que la primera que tiene algún

nudo es la sexta revisada. ¿Cuál es la probabilidad que esa partida sea del aserradero A?

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13) Una fábrica compra el 30% de los rollos de hojalata que fracciona, a un proveedor A,

y con una calidad de 0.05 fallas/metro. El resto lo compra a otro proveedor B, y tienen

0.03 fallas/metro. Posteriormente se fraccionan en láminas de 50m y se mezclan. La

venta se realiza en envases de 2 láminas. Una norma especifica que una lámina debe

tener como máximo 2 fallas. ¿Hallar los porcentajes de envases en que ambas, una o

ninguna de las láminas cumplan con la norma?

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14) Por una autopista pasan vehiculos a razón 3v/min. Un hombre con un carro tarda 10 seg.

en cruzarla.

(a) Hallar la densidad del número de cruces que puede hacer, entre el "hueco" que dejan

dos autos.

(b) Cuál es la probabilidad de que en los dos "huecos" que dejan al pasar tres autos, el

hombre pueda hacer exactamente tres cruces?

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15) En un gran almacen el importe X de las facturas confeccionadas tiene una distribución

G(9;0.001235)$. Toda factura es cobrada a los 30 días. Como resulta oneroso mantener

el sistema de cobranzas, se decide cobrar al contado las facturas menores de $5000.

(a) ¿Cuál será el plazo esperado por factura después del cambio?

(b) ¿Cuál será el monto promedio d las facturas al contado?

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16) Cierto tipo de material que se vende en rollos se fracciona en láminas de 10 cm.

La razón de fallas es de 0.4 f /cm. Las láminas que tienen 5 o menos fallas se venden

y el resto se reserva. Posteriormente se desea utilizar para fines especiales, aquellas

láminas (de las reservadas), que no tienen fallas en los dos extremos de 1 cm (o sea

que pueden tener fallas en los 8cm centrales). Calcular cuántas láminas será necesario

inspeccionar, para formar un lote de 100 que cumpla con las condiciones anteriores,

y con una seguridad del 95%?

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17) En un proceso textil ocurren fallas a la Poisson, a razón de 0.02 f / m. Se revisa el

tejido cortando piezas de 40 m, si el número de fallas resulta inferior a 2. Si hay dos

o más fallas, se corta la pieza justo por la segunda falla, quedando una pieza con una

falla, y se vende como de segunda calidad. Calcular:

(a) Valor medio de la longitud de una pieza?

(b) Número medio de fallas en las piezas de primera calidad?

(c) La longitud media de las piezas de segunda calidad?

(d) Número medio de fallas por pieza producida?

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18) Un proveedor ofrece cierto repuesto en dos calidades: la A, con una intensidad de fallas de

0.01 fallas/día a $100 c/u; y la B, con una intensidad de fallas de 0.0025 fallas/día a $300 c/u.

Un cliente necesita comprar cierta cantidad de estos repuestos de manera que le alcancen para

terminar un trabajo de 300 días con una seguridad del 95%.

¿Que tipo de repuestos debe comprar y en que cantidad?

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19) Cierto proceso químico requiere la utilización de unas lámparas especiales, muy costosas,

las cuales admiten solo un encendido. Un trabajo necesita un tiempo de iluminación de

por lo menos 10 horas. Las lámparas tienen una duración G(1;0.125) horas. Se compran tres,

y se las va encendiendo sucesivamente a medida que se queman, hasta que el tiempo de

exposición total supera las 10 horas. Se pide:

(a) Si fué necesario utilizar una sola lámpara, ¿En promedio cuánto duró?

(b) ¿Cuánto vale la probabilidad que las tres lámparas resulten insuficientes?

(c) Hallar el número medio de lámparas utilizadas (de las compradas)?

(d) Si las tres lámparas resultaron insuficientes, calcular el valor medio del tiempo

adicional que será necesario par terminar el trabajo?

(e) ¿Cuántas lámparas compraría para tener una seguridad del 95% de terminar el trabajo?

(f) Si las tres lámparas resultaron suficientes, ¿Hallar el valor medio del número de

lámparas sobrantes?

(g) Si las tres lámparas resultaron suficientes, hallar el valor medio del tiempo de

exposición suplementario de que se dispone (con las lámparas no usadas)?

(h) Si las tres lámparas resultaron insuficientes, calcular el número medio de lámparas

adicionales que habría que comprar para terminar el trabajo?

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20) Los arribos de automóviles a un embarcadero ocurren a la Poisson con una

intensidad de 5 autos por hora. Los mismos son cargados en un ferry que parte al

completar su capacidad que es de 10 autos. Si en 2 horas no se completó su capacidad,

igualmente el ferry parte, siempre y cuando haya embarcado 5 autos. En caso contrario

espera hasta completar 5 autos antes de partir. ¿Cuál es el número esperado de autos

transportados por viaje?

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21) Se tiene que hacer un trabajo de 40 horas, con cierta máquina que tiene una pieza que

falla accidentalmente a razón de 1 cada 20 horas. Por este motivo se decidió comprar 3

piezas para encarar el trabajo. Se pide:

(a) Calcular la probabilidad de completar el trabajo?

(b) Calcular el número medio de piezas sobrantes(no rotas)?

(c) Si el trabajo quedó inconcluso, en promedio en que instante de tiempo ocurrió esto?

(d) Si el trabajo quedó inconcluso, ¿Calcular la probabilidad que comprando solo 1

pieza adicional se logre terminarlo?

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22) Un ferry hace un viaje cada dos horas, o al completarse si ello ocurre antes. Si la capacidad

del ferry es de 5 automóviles, y los arribos ocurren al azar con una frecuencia de 4 por hora,

se desea calcular:

(a) el lapso medio para partir?

(b) el número medio de vehículos transportados?

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23) Un fabricante vende un generador con garantía por 5 años. Una de sus partes, sujeta a rotura,

cuesta $1.5. Las fallas de dicha pieza son a la Poissón a razón de una cada 10 años. Si el

generador se para por falta de repuestos en el período de garantía, el fabricante debe

proveerlo, pagando cada vez una multa de $22.5. Cuál es la cantidad de repuestos que debe

proveer el fabricante con el generador, de modo de minimizar el costo medio por estos motivos?

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24) En un almacén al finalizar el día se atendieron 25 clientes. El almacen está abierto de 9 a 12 hs,

y de 16 a 21 hs. Además los clientes llegan a la Poissón con $\beta $ = 3 clientes/hora. ¿Calcular la

probabilidad que a la tarde se hayan atendido justo 8 clientes?

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25) Los arribos de automóviles a un muelle de embarque se producen al azar con una intensidad

$\beta $ de 4 autos/hora. Sabiendo que en una hora y media fueron embarcados más de 7 autos

¿Que probabilidad existe de tardar menos de 2 horas en total para completar la capacidad

del ferry, que es de 10 automóviles?

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26) Una pieza tiene fallas a la Poissón a razón de 0.01 fallas/día. Una máquina se vende

con una pieza puesta y tres adicionales de repuesto. Se debe hacer un trabajo que dura 2 años.

(a) Cuántos repuestos "extra" habrá que comprar para tener una seguridad del 95% de

poder terminar el trabajo?

(b) Si al cabo de un año quedan repuestos (de los adicionales) ¿Calcular su número medio?

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27) Un vendedor de diarios recibe clientes para comprar "La Razón" con una intensidad de

1cl/min. A las 17 hs recibe 100 ejemplares de la 5ta, y a las 19 hs , 200 de la 6ta edición.

El puesto lo cierra a las 22 hs. Calcular la probabilidad de que venda alguna 5ta después

de las 19 hs.? (Nota: después de las 19hs., vende solo la 6ta., recurriendo a la 5ta en

el caso de tener, y que se le haya agotado la 6ta).

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Varias variables aleatorias

1) Se tiene una urna con 3 bolillas blancas y 2 negras. Se sacan sin reposición dos

bolillas y luego otras dos. Sean X: "número de blancas en la primera extracción", y

Y: "número de blancas en la segunda extracción". Se pide hallar p$_{\text{XY}}$, p$_{\text{X}}$, p$_{\text{Y}}$ y decidir

si X e Y son independientes?

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2) Se tira una moneda tres veces. Sean X:"diferencia entre el número de caras del segundo

y el primer tiro", y Y:"idem pero entre el tercero y el segundo".Se pide hallar p$_{\text{XY}}$, p$_{\text{X}}$, p$_{\text{Y}}$

y decidir si X e Y son independientes?

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3) Sean dos variables aleatorias X e Y, que tienen por densidad conjunta

f$_{\text{XY}}$(x;y) = MATH

Se pide hallar F$_{\text{XY}}$(x;y), f$_{\text{X}}$(x), f$_{\text{Y}}$(y), y decidir si X e Y son independientes?

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Cálculo de probabilidades con V.V.A.

(1-4)(5-11)(12-15)(16)

0) Se compran 2 lámparas para iluminar un local. La duración de c/u responde a una

v.a. G(1;0.05)hs. Si el local estuvo iluminado más de 30hs ¿Calcular la probabilidad que la

1ra lampara haya durado más de 20hs más que la otra? en los siguientes casos:

(a) Las lámparas se encienden una a continuación de la otra.

(b) Las lámparas se encienden simultaneamente.$\dsum $.

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00) Sean $(R,H)$ las dimensiones(en cm) de unos recipientes cilíndricos donde:

MATH Se pide:

(a) Hallar el valor de $k$ ?

(b) Hallar $f_{R}(r)$ y $f_{H}(h)$ ?

(c) Son independientes $R$ y $H$ ?

(d) Calcular $\mu $ y $\sigma $ del volúmen de los cilindros?

Suponiendo que se venden solo los cilíndros de volúmen mayor que $140cm^{3}$, se pide:

(e) Hallar la densidad del radio, y de la altura, de los cilíndros que se venden?

(f) Calcular el volúmen medio de los cilíndros que se venden?

(Nota: intersección con el recinto: $(r;h)=(2.43;7.57)$ y $(3.85;3)$).$\dsum $

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

1) El tiempo de funcionamiento hasta la rotura de una máquina es X$\sim $N(100; 30)h, y el de

reparación es R$\sim $G(1 ; 0.04)h. Calcule la probabilidad de que el tiempo necesario para repararla

supere al 20% del tiempo de funcionamiento?$\dsum $

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

2) Un aparato electrónico tiene dos piezas que pueden fallar independientemente, una en un

tiempo A$\sim $N(100;30) días y la otra en un tiempo B$\sim $G(α;β) con µ=60días y σ=30días.

Cualquiera de las piezas que falle hace detener el aparato. Se pide:

(a) Calcular la probabilidad de que el aparato falle antes de 80días?

(b) Calcular la probabilidad de que la pieza A falle antes?$\dsum $

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

3) Una máquina tiene una pieza que falla a la Poisson a razón de β=0.5piezas/h. Se dispone de

4 piezas para reponer. Además la cantidad de combustible disponible es una v.a. C$\sim $N( 100;25)lt,

y la máquina consume a razón de 10lt por hora. Se pide: Calcular la probabilidad de que se

tenga que detener la producción por falta de combustible?$\dsum $

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4) Cierto instrumento tiene una pieza que falla a la Poissón a razón de 1falla/20días. Por las dudas

se compró otra pieza similar, pero "importada", que falla a razón de 1falla/40días. Si ambas piezas,

usadas una a continuación de la otra, duraron en total menos de 30días, se pide: ¿Calcular la

probabilidad de que la "importada" haya durado menos?$\dsum $

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5) Se envasan en botellas de 230cm³ una nueva bebida de frutas compuesta de dos dosis: una con

X$\sim $N(110;30) cm³ de naranja y otra con Y$\sim $N(90;25) cm³ de uva.

Si una botella no rebalsó, se pide:

(a) ¿Calcular la probabilidad que tenga más de jugo de uva?

(b) Hallar la densidad de la cantidad de jugo de uva que tendrá?$\dsum $

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

6) Considere láminas rectangulares cuya base B, y altura H, son variables aleatorias

independientes con distribución f$_{\text{B}}$(b) =MATH, y U(0;5) resp.

Control de calidad hace un control rápido, midiendo la diagonal de cada lámina, y manda

a descarte aquellas láminas de diagonal menor que 4cm. Hallar la función de densidad

de la base de las láminas que se venden?

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7) Usualmente dos operarios llegan a su trabajo con una demora T con densidad

f(t)= 2t/100 para 0<t<10 min y en forma independiente.

(a) Calcular la probabilidad que el primero llegue por lo menos tres minutos después que el otro?

(b) Si lo anterior ocurrió, hallar la densidad de la demora del segundo?$\dsum $

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

8) Sean recipientes cilíndricos con radio R, y altura H, dadas por la densidad f(r;h)=k(r+h)

para r+h<10, r>2, h>1, y k es una constante a determinar. Se pide:

(a) volumen medio de los cilindros?

(b) probabilidad que un cilindro tenga altura menor que 5?

(c) Hallar la densidad del radio de los cilindros de altura menor que 5?$\dsum $

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

9) Sea f(h;r)= kh²(1+r) para h+2r≤10, h+r≥5, r≥0 la densidad correspondiente a el radio y altura

de un cilindro. Se venden los cilindros cuya altura supere al diámetro. Se pide:

(a) hallar k?

(b) volumen medio de los cilindros vendidos?

(c) la densidad de la altura de los cilindros vendidos?$\dsum $

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

10) Una pieza puede fallar por desgaste, y esto ocurre en un tiempo X ~N(130,20) horas, o por

azar, o sea debido a un descuido accidental del operario que utiliza la pieza. Los descuidos del

operario ocurren según un proceso de Poisson de intensidad 0.01 desc/hora. Se pide:

(a) Calcular la probabilidad que la pieza falle por desgaste?

(b) Hallar la densidad del tiempo en que falla una pieza, que fallá por desgaste?$\dsum $

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

11) Unos recipientes cilindricos tienen R y H que responden a:

f(r;h) = cte $r(r^{2}+h^{2})$ para $r+h<10;r>0;h>0$.

Se venden solo los recipientes de volúmen > 150cm$^{3}$. Calcular:

(a) Volúmen medio de los recipientes que se venden?

(b) Hallar la densidad de el radio de los recipientes que se venden?

Nota: intersección con la hipérbola en: r=2.528cm, y en r=9.467cm.$\dsum $

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

12) Unos recipientes cilíndricos tienen radio R$\sim $U(5;7)cm y altura 15 cm. A cada uno se le envía

un chorro de líquido Y, que responde a una N(1100;300)cm3. Se pide:

(a) Calcular la probabilidad que un recipiente rebalse?

(b) Calcular el líquido medio rebalsado por chorro?

(c) Calcular la altura media de el contenido en cada recipiente?$\dsum $

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

13) En un taller hay dos máquinas, la primera falla y se detiene, en un tiempo A$\sim $N(100;30)hs, y

la segunda en un tiempo B$\sim $N(80;20)hs. Se encienden las dos simultáneamente. Se pide:

(a) µ y σ del tiempo T, en que funcionarán simultáneamente ambas máquinas?

(b) Si la suma de los tiempos de funcionamiento de ambas máquinas superó las 200hs, ¿Calcular

la probabilidad de que la que primero falló sea la "b"?$\dsum $

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14) Una máquina tiene un repuesto que tiene 2 partes: la "x", que falla por desgaste en un tiempo

X$\sim $N(100;30)h, y la "a" que falla accidentalmente en un tiempo A$\sim $G(1;0.02). Cuando falla

primero la parte "x" hay que descartar el repuesto. Sin embargo, si falla primero la "a", el repuesto

todavía se puede usar pero a partir de ahí la otra parte dura la mitad.

Se pide: µ y σ de la duración del repuesto? $\dsum $

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

15) Una máquina tiene una pieza que sufre fallas a la Poissón a razón de 0.05 fallas/hora.

En el recambio de la pieza, se demora un tiempo que es G(1;0.2) horas. Se define

rendimiento de la máquina a la relación:

$\QTR{bf}{\rho }$ = MATH

Si estos dos tiempos son independientes, se pide calcular:

(a) Rendimiento medio de la máquina?

(b) P($\QTR{bf}{\rho }$ > 0.9) ?

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16) Para cierto tipo de láminas una norma indica una longitud mayor que 9m y como máximo 2 fallas.

Una fabrica compra rollos grandes con β = 0.3f/m, y los fracciona con una máquina que tiene un

punto de corte N(10;2)m. Además la máquina tiene instalado un dispositivo de control electrónico,

que, antes de cortar, cuenta el número de fallas que tendría la lámina. En el caso de detectar 3 o más

fallas, ordena automátricamente un corte sobre la 3ra falla, quedando una lámina con solo 2 fallas.

Se pide:

(a) porcentaje de veces en que actuará el control?

(b) porcentaje de láminas que cumplen con la norma?

(c) longitud media de las láminas que cumplen con la norma?$\dsum $

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Momentos, Covarianza, Correlación

1) Suponga un tetraedro que tiene en sus caras los números 1,2,3,y 4. Se lo tira dos veces. Calcular

el coeficiente de correlación entre X e Y, siendo

X: "suma de ambos resultados"

Y: "producto de ambos resultados"

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2) Se arrojan simultaneamente dos dados iguales, cuyas seis caras tienen marcados los números

1-2-2-4-4-8, registrándose el valor del cociente de los números obtenidos en el 1er y 2do

dados. Calcule la media y varianza de dicho cociente?

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Variable aleatoria condicional y Curva de Regresión

1) Una urna contiene 20 bolillas blancas, 15 negras, y 10 azules. Se toma una muestra

de 10 bolillas(sin reemplazo). Sean X:"número de blancas", y Y:"número de negras" en la

muestra. Se pide hallar

(a) la densidad conjunta de X e Y? (p$_{\text{XY}}$).

(b) las marginales? (interpretar)

(c) la p$_{\text{X/Y}}$ ? (interpretar)

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2) Suponga que el número de máquinas que sufren averías en un día dado, es una variable

aleatoria X con distribución Poisson de $\lambda $=4. Se sabe también que el 80% de las averías

son solucionables por personal de la fábrica. Sea Y: "el número de máquinas que requiere

asistencia técnica especializada". Se pide hallar

(a) p$_{\text{Y/X}}$(y/x)

(b) p$_{\text{XY}}$(x;y)

(c) la curva de regresión de Y sobre X.

(d) serán X e Y independientes?

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3) Sea la densidad f$_{\text{XY}}$(x;y) = MATH

Hallar f$_{\text{Y}}$(y) y la curva de regresión de X sobre Y?

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4) Sea f$_{\text{XY}}$(x;y) = MATH Se pide

(a) Hallar la curva de regresión de Y sobre X.

(b) Si se sabe que X=0.7, se pide predecir el valor de Y

(c) Que desvío estándar tiene la predicción anterior?

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5) Sea un segmento de longitud 4. Se elige un punto al azar entre 0 y 4, y luego otro

(también al azar), entre el anteriormente elegido y 4. Luego el segmento inicial queda

dividido en tres segmentos. Sean X e Y las longitudes de los dos primeros (la longitud

del tercero será 4-X-Y). Luego se construye un trapecio en que las bases son X, Y, y

el otro segmento la altura. Se pide hallar

(a) f$_{\text{X}}$(x)

(b) f$_{\text{Y/X}}$(y/x)

(c) f$_{\text{XY}}$(x;y)

(d) f$_{\text{Y}}$(y)

(e) la regresión de Y sobre X

(f) el valor medio del area del trapecio?

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6) Suponga que los costos de material (X), y de mano de obra(Y), de un proyecto de

construcción, tienen como función de densidad f$_{\text{XY}}$(x;y) = MATH

(donde tanto el costo de material, como de mano de obra están en unidades de $100.000)

Se pide hallar:

(a) las marginales de ambas variables

(b) f$_{\text{X/Y}}$(x/y) y f$_{\text{Y/X}}$(y/x)

(c) Hallar y representar las dos curvas de regresión

(d) Son los costos de material y mano de obra independientes?

(e) Si se sabe que el costo de material de un proyecto fué de $200.000 ¿Cuál es la

probabilidad que el costo de mano de obra supere los $200.000?

(f) Estimar el costo de mano de obra, si se sabe que el costo de material fué de $150.000.

Cuál es el desvío de esta estimación?

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7) Dada la densidad f$_{\text{XY}}$(x;y) = MATH Hallar la curva de

regresión de Y $\longrightarrow $ X.

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8) Una máquina fabrica ejes y el correspondiente buje. La función de densidad de dichas

variables es f$_{\text{XY}}$(x;y) = MATH

(a) Calcular la curva de regresión de Y sobre X ?

(b) Cuál de las variables aleatorias X e Y, le parece que corresponde a un eje, y cuál a

un buje? (con que criterio tomaría esta decisión)

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Cambio de variable

1) Si X e Y son U(0;1) independientes, hallar la densidad de Z=2X+Y ?

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2) Si f$_{\text{XY}}$(x;y) = MATH Hallar la densidad de Z=X-Y ?

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3) Si X e Y son U(0;1) independientes, hallar la densidad de Z=X$^{\text{2}}$+2Y ?

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4) Si p$_{\text{XY}}$(x;y) = MATH

Hallar la densidad de Z=X-Y ?

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5) Si X es B$_{\text{i}}$(2;0.4), e Y es B$_{\text{i}}$(3;0.3), y son independientes, hallar la densidad

de Z=X-Y ?

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$\mu $ y $\sigma $ de una Combinación lineal o de un producto

1) Si X e Y son variables de Poisson independientes de igual $\lambda $, calcule la media de Z=X(X+Y) ?

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2) Si X e Y son Poisson independientes de igual $\lambda $, calcule la media y la varianza

de Z=XY+X ?

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3) Si X e Y son N($\mu $;$\sigma $) independientes, calcule E(X$^{\text{2}}$Y$^{\text{2}}$) ?

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4) Si X e Y son N($\mu $;$\sigma $) independientes, calcule la media de Z=(X+Y)(X-Y) ?

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5) Si X,Y,Z son independientes N(3;1), calcule media y varianza de W=XYZ ?

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6) Sean X,Y,Z,T variables N($\mu $;$\sigma $) independientes. Justifique intuitivamente porque son

diferentes las varianzas de H$_{\text{1}}$=X+Y+Z y de H$_{\text{2}}$=T+T+T ?

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7) En un taller existe un dispositivo que separa automáticamente cierto tipo de piezas

en dos grupos, según su longitud supere o no los 29 mm. Dicha longitud es una variable

con distribución uniforme entre 28 y 32 mm. Se comete el error de entregar un lote de

300 piezas, formado por 50 piezas bajo medida, y el resto sobre medida. Calcular el

valor medio y la varianza de la longitud total entregada?

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8) Sea un cilíndro cuyo radio es U(0;1), y cuya altura (independiente del radio) es también

U(0;1). Hallar la covarianza entre el volúmen del cilindro y su radio?

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9) Si X e Y son U(1;2) independientes, calcule E(MATH) ?

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10) Si X e Y son N($\mu $;$\sigma $) independientes, ¿Cuanto vale el coeficiente de correlación entre

Z y T, siendo Z=X+3Y, T=X-2Y ?

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11) Los clientes de una empresa tienen antiguedades que siguen una distribución G(5;1) años.

Sus cuentas alcanzan montos anuales que, expresados en millones de pesos, se distribuyen

según una G(1;1.25). La empresa decide dar crédito a todos los clientes cuyas cuentas

anuales superen el millón de pesos, por un total igual al 20% del excedente de dicha cifra,

más $100.000 por año de antiguedad (para todos los clientes). Suponiendo que las

antiguedades y los montos de las cuentas son independientes entre sí, calcular el valor

esperado del crédito otorgado por cliente?

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12) Suponga un cuadrado de arista exactamente 1. Se desea determinar la superficie del

mismo mediante un instrumento que mide longitudes con un error N(0;0.1). Se plantean

dos posibilidades para estimar la superficie:

(a) medir dos lados adyacentes, multiplicando ambas cifras

(b) medir solo la diagonal, dividirla por $\sqrt{\text{2}}$ para obtener el lado, y elevar esta

cantidad al cuadrado.

Estudiando la variable aleatoria error en cada medición, decida cuál posibilidad le

parece más conveniente?

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13) Un fabricante quiere introducir en el mercado un nuevo producto. La venta se realizará con

una garantía por dos años. El ha estimado que el producto sufre roturas a la Poissón a

razón de 0.5 rot/año. Además sabe que cada rotura le significa un gasto de N(100;20)$.

Calcule el valor medio y la varianza del costo debido a la garantía?

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14) Cierto componente falla (se quema) a razón de una vez cada 10 meses. El costo de fabricación

es de $100 y la garantía por 5 meses. Si el componente se quema dentro del período de garantía,

el fabricante se compromete a reponerlo sin cargo, y le extiende una nueva garantía por 5 meses.

(a) Calcule el precio de venta a fijar para dicho componente, si se quiere que la ganancia media

por componente vendido sea del 10% de dicho precio de venta?.

(b) Idem (a), pero suponiendo que la garantía expira indefectiblemente a los 5 meses de

comprado el componente (o sea no se renueva cada vez que se quema) ?

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Combinación lineal de normales, y suma de Gamma/Poisson

1) El tiempo empleado para completar un proceso químico se comporta como una variable

aleatoria N(30;2) min. Un segundo proceso independiente, se inicia tres minutos después

del anterior, y su tiempo de proceso es una variable N(25;1) min. ¿Cuál es la probabilidad

que el segundo proceso finalice antes que el primero?

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2) El costo directo de un producto está formado por materia prima (8 dm$^{\text{2}}$, por unidad), y

mano de obra (16 min por unidad). Debido a variaciones en la eficiencia de la mano de

obra y en el rendimiento de los materiales, los costos unitarios mensuales son V.A. que

pueden considerarse normales, el de mano de obra N(200;3) 4/hora, y el de materia

prima N(320;2) $/m$^{\text{2}}$. Si el costo directo estándar se ha fijado en $80 por unidad ¿Que

probabilidad hay, de que sea sobrepasado en un mes determinado?

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3) Una producción de ejes tiene un diámetro N(50;0.10)mm. Se toma una muestra de 100 ejes.

(a) Calcular el valor medio y el desvío, del promedio de los diámetros de la muestra?

(b) Suponiendo que una partida es rechazada si el promedio es inferior a 49.999 o

superior a 50.001 ¿Calcular la probabilidad de rechazo?

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4) Una conserva se venderá envasada en latas. Las distribuciones de los pesos, y los costos

son los siguientes:

Peso envase : N(82;6) gramos

Peso neto : N(498;12) gramos

Costo envase : $80/Kg

Costo conserva : $600/Kg

Costo envasado : $22 por unidad

Se desea conocer la probabilidad de que el costo del producto terminado supere en

más de un 10%, al costo neto de la conserva?

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5) El peso de las unidades de una cierta manufactura es N(120;8) gr. Las unidades se

empaquetan de a 24 en cajas de cartón cuyo peso es de 300 gr (constante).

En la inspección final se pesan las cajas y se rechaza toda caja cuyo peso total sea

inferior a 3120 gr. Calcular:

(a) La probabilidad que no se detecte, cuando por error se empaquetan 23 unidades

en lugar de 24?

(b) La probabilidad que sea rechazada una caja con 24 unidades?

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6) Ciertos artículos tienen un peso N(10;2)gr. Una máquina envasadora (debido a una

falla), a la que llegan pares de cajas, coloca en una de ellas 9 artículos y en la otra 10,

y las cierra (se desconoce cuál caja tiene 9, y cuál tiene 10 artículos).

Posteriormente, cuando se detecta la falla en el envasado, se resuelve pesar cada par

de cajas, y "decretar" como cajas buenas, las de mayor peso, formando así el lote

bueno. Calcular el porcentaje de cajas malas en el lote bueno?

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7) La viga principal del ala de un avión comercial está calculada a la fatiga de manera que

aguante 6 10$^{\text{6}}$ inversiones de momento flexor. La cantidad de inversiones que dicha viga

tiene que aguantar por hora de vuelo es N(100;20) inversiones. Suponiendo que el avión

vuele 200 horas mensuales, ¿Calcule la vida del avión en meses, de manera tal de tener

una probabilidad de 0.999 de no tener una rotura por fatiga?

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8) Suponga que el tiempo de funcionamiento hasta la rotura de una máquina, se puede

considerar que es una N(100;30) hs. Además se sabe que el tiempo empleado en fabricar

cada artículo es N(4;1) hs. ¿Cuántos artículos se pueden ofrecer a venta en un ciclo de

funcionamiento de la máquina, si se quiere tener una seguridad del 90% de cumplir con

el ofrecimiento?

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9) Cierto tipo de artículos tiene un peso N(10;2) gr., y se envasa en cajas de 100.

Se desean formar cajas con otros artículos cuyo peso es N(8;2) gr. ¿Cuántos artículos

deberá tener cada caja si se quiere tener una probabilidad del 10% de que estas cajas

pesen menos que las anteriores?

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10) Una fábrica de gaseosas tiene dos máquinas envasadoras A y B. Al cabo de un día

se observó que para la máquina A, el 5% de las botellas rebalsaron, y el 5% fueron

llenadas por debajo de los 185 cm$^{\text{3}}$ reglamentarios. Para la máquina B estas cifras fueron

2% y 10% respectivamente. Si las máquinas A y B envasan 50.000 y 100.000 botellas

semanales respectivamente ¿Cuál deberá ser como mínimo el volúmen de gaseosa que

contiene al tanque que alimenta a ambas máquinas, para tener una seguridad del 95%

que no se agote en la semana? (botella vacía = 200 cm$^{\text{3}}$).

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11) Dos máquinas P y Q producen rollos de papel de 10m. que tienen 0.02 y 0.03 fallas

por metro respectivamente. Estas máquinas producen el 40% y 60% resp. de la

producción total. Cada rollo pesa N(10;1) gr. Luego se forman cajas con 100 rollos

cada una, tomados al azar de la producción total. Un cliente decide comprar una gran

partida de cajas. El plan de muestreo consiste en sacar 8 rollos de una caja, y rechazar

la partida si hay alguno defectuoso o si el peso total es menor de 75gr.(peso de los 8 rollos).

Hallar la probabilidad de rechazar la partida? (un rollo es defectuoso si tiene alguna falla).

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12) Cierto tipo de artículos se venden en cajas de 100 unidades. En stock hay dos clases de

dichos artículos, los clase A, con un peso N(10;0.4)gr, y los clase B con peso N(10;0.15)gr.

Se pide calcular cuántos artículos de cada clase debe tener una caja, si se quiere una

probabilidad del 95% que la misma pese entre 995 y 1005 gr.?

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13) Considere una balanza de platillos y cierto tipo de semillas que c/u tiene un peso N(8;1) gr.

Se depositan pares de semillas, una en cada platillo de la balanza. Calcular cuántos pares

de semillas se deberán depositar, para tener una probabilidad del 95%, de que la balanza

acuse una diferencia de peso (se mueva la aguja). Nota: la aguja se mueve si entre los platillos

existe una diferencia de peso de por lo menos 30gr.

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14)

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15) Cierto componente se vende en cajas de 100 unidades. Cada unidad tiene un peso

N(10;3) gr. Control de calidad no permite salir a la venta toda caja cuyo peso sea

superior a 1020 gr. Posteriormente un cliente decide comprar 400 cajas. Considera mala

una caja si pesa menos de 980 gr. Utiliza el siguiente plan de muestreo-compra: toma 10

cajas, y si no hay ninguna mala, paga $10.000 por el lote; si hay una mala paga $8.000;

y en caso contrario no realiza la compra. ¿Cuál es la esperanza monetaria que le

devengará esta compra a la empresa?

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16) Cierto tipo de componentes de longitud N(100;1) cm. se venden de a pares. Las longitudes

de los miembros de un par deben ser similares. Por ello una norma especifica que ambos

miembros de un par no deben diferir en más de 2cm. Los que cumplen con la norma

se venden como de calidad "extra", y el resto como de calidad inferior. Una nueva norma

especifica una diferencia de longitudes no superior a 3cm. Un cliente decide comprar 100

pares que cumplan con la nueva norma. Como se han agotado los pares "extra", se decide

inspeccionar uno a uno los pares del lote de calidad inferior, hasta conseguir la cantidad

requerida. ¿Cuál es la probabilidad de tener que revisar más de 120 pares?

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17) El tiempo que tarda una señora en comunicarse telefónicamente con una amiga es N(30;5) seg.

Si la amiga está, lo cual ocurre el 60% de las veces, conversa con ella un tiempo N(60;10) seg.,

en caso contrario corta. Calcule media y varianza del tiempo total empleado?

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18) Una chica recibe de regalo una caja con 36 bombones. Cada uno tiene un peso N(10;2) gr.

En un descuido, su madre abre la caja, y "mira" dos bombones de dulce de leche (la

probabilidad de comerse un bombón mirado es 0.8). Calcular la probabilidad que la caja

pese menos de 360 gr:

(a) antes de la inspección del regalo?

(b) después de la inspección del regalo?

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19) La producción de cierto tipo de artículos de peso N(10;2)gr. se realiza con un porcentaje

de defectuosos del 5% (independientes del peso). Diariamente se toma una muestra de 100

y con los defectuosos encontrados se efectúa un ensayo destructivo. Si el costo de la toma

de la muestra es de $1 por artículo, y el del ensayo destructivo es de $100/gr. ¿Calcular

el costo medio diario de estos ensayos?

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20) Una empresa constructora recibe hormigón cuya resistencia es N(200;30) Kg/cm$^{\text{2}}$. Si se

han ensayado 50 probetas, resultando 5 con resistencias inferiores a los 140 Kg/cm$^{\text{2}}$¿Calcular

la probabilidad de que el promedio de las resistencias de las restantes probetas supere

los 210 Kg/cm$^{\text{2}}$?

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21) Cierta bebida se vende en cajones de dos botellas. Cada una contiene una cantidad de

líquido N(105;10) cm$^{\text{3}}$. Según esta impreso en cada botella, c/u debería contener más

de 100 cm$^{\text{3}}$ de bebida. Un señor elige visualmente la botella más vacía, mide su contenido,

y compra el cajón si tiene más de 100 cm$^{\text{3}}$, la elegida. Calcular:

(a) la probabilidad de comprar el cajón?

(b) la probabilidad de rechazar un cajón que tiene más de 200 cm$^{\text{3}}$ en total ?

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23) Una dosis de cierta vacuna se obtiene combinando dos drogas A y B. Sin embargo por dosis,

la máquina dosificadora envía una cantidad de droga A que es X~N(5;1.2)cm³, y para la droga B,

una cantidad Y~N(5.5;1)cm³. Debido a estándares de la industria farmacéutica, para que la vacuna

sea efectiva la proporción de droga A deberá estar entre 0.4 y 0.6 del total enviado

(o sea: 0.4≤ X/(X+Y) ≤0.6) . Se pide:

(a) Calcular la probabilidad de que la vacuna sea efectiva?

(b) Si posteriormente se agrega la exigencia que por dosis, la cantidad total de vacuna sea

superior a 10cm³(o sea: X+Y>10cm³), calcular la probabilidad de efectividad?$\dsum $

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22) Se tienen dos tipos de productos medicinales A y B,diluídos en agua, que tienen

2 bacterias/cm$^{\text{3}}$ y 1 bacteria/cm$^{\text{3}}$, respectivamente. El agua tiene unas 3 impurezas por cm$^{\text{3}}$

aproximadamente. Una vacuna está compuesta por 2 cm$^{\text{3}}$ de A y 3 cm$^{\text{3}}$ de B, y es efectiva si el

número de bacterias es superior a 3, y el de impurezas inferior a 7. ¿Calcular la probabilidad de

efectividad de la vacuna?

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Teorema Central del Límite

1) Un computador debe efectuar la suma de 10$^{6}$ números reales. Antes redondea dejando

solo dos cifras decimales (ej: 84.25746.. $\rightarrow $ 84.26 o también 1.273214.. $\rightarrow $ 1.27). Calcular

la probabilidad que el error total en la suma supere las 4 unidades (en valor absoluto)?

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2) El consumo diario de combustible de una planta industrial es una variable aleatoria

con densidad f$_{\text{V}}$(v) = MATH . Se quiere dimensionar un tanque de

forma tal que pueda satisfacer el consumo de 300 días con una seguridad del 90%.

¿Cuál debe ser su volúmen?

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3) Un señor juega 10000 partidos de pase inglés apostando $1 por partido. Calcular la

probabilidad que pierda menos de $300? (la probabilidad de ganar en un partido es 0.492).

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4) Un gran almacén vende azúcar en bolsas de 0.5 , 1 , 2 , y 5 Kg. Una estadística de ventas

del año pasado indica la siguiente distribución de la demanda para los distintos tamaños:

bolsa de 0.5 Kg $\longrightarrow $ 30%

bolsa de 1 Kg $\longrightarrow $ 40%

bolsa de 2 Kg $\longrightarrow $ 20%

bolsa de 5 Kg $\longrightarrow $ 10%

Si hoy se dispone en stock a granel, 320 Kg de azúcar, y la demanda estimada para mañana

es de 200 bolsas ¿Calcular la probabilidad de no llegar a satisfacer la demanda?

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5) En un banco cada cajero recibe un fondo de $1000000 anuales, destinados a cubrir

las diferencias de caja que se originan al final de cada día (que es una variable aleatoria

N(-3600;8100)$). Si las diferencias de caja acumuladas en un año, no superan $1000000,

el cajero recibe la diferencia entre $1000000 y las diferencias acumuladas a fin de año;

en caso contrario el banco solventa todas las diferencias y el cajero nada recibe.

Calcular el costo esperado por cajero en concepto de diferencias de caja (suponer

años de 252 días hábiles)?

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6) En una máquina envasadora de gaseosdas el pico de llenado envía una cantidad de líquido

que es N(180;10) cm$^{3}$. La botella vacía es de 200 cm$^{3}$. Debajo del pico de llenado debe

haber un recipiente donde caiga el líquido que rebalsa. ¿Cuál debe ser el volúmen de este

recipiente si se quiere tener una seguridad del 90% de que no rebalse durante un día de

trabajo? (por día se envasan 100000 botellas).

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7) Un libro de 400 páginas tiene fallas a la Poissón a razón de $\mu $ = 0.5 fallas/página.

Se les ordena a dos operarios que cuenten el número total de fallas del libro. Uno de ellos

cumple la orden, mientras que el otro, revisa solo las páginas de numeración impar, y

multiplica por dos el número de fallas obtenido. Calcular la probabilidad que el número de

fallas informados por los operarios difiera en más de 20 fallas?

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8) Un estudiante usa diariamente una calculadora durante un tiempo que se puede considerar

N(1;0.2) hs. Las baterías con que funciona la calculadora tienen vidas útiles variables que,

expresadas en tiempo neto de utilización pueden considerarse v.a. G(3;0.25) hs. ¿Calcular

la probabilidad que un stock de 25 baterías le alcance para 1 año (365 días).?

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9) En una empresa se debe construir un piso de 225 baldosas de un galpón industrial. Se sabe

por experiencia, que el 6% de las baldosas se inutilizan en el transporte y manipuleo. Que

cantidad se deberá comprar, si se desea que la probabilidad de que las baldosas no alcancen

para completar la construcción sea inferior al 5%?

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10) La duración de las llamadas telefónicas en una central tiene distribución Gamma de

media 3.2 min y varianza 5.12 min$^{2}$ . La compañía cobra $40 por cada 3 minutos o

fracción. Si en un mes se efectuaron 3.000.000 de llamadas ¿Cuál es la probabilidad

que la central facture más de $190.900.000?

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11) Un barco tiene motores diesel que son arrancados con cartuchos de dinamita. Se sabe

que un motor tiene una probabilidad del 60% de arrancar con el 1er disparo; una

probabilidad del 80% de arrancar con el 2do. si es que no arrancó con el primero. Y una

probabilidad del 100% de arrancar con el 3ro si no arrancó con los dos primeros. Se quiere

equipar al barco para una estadía en alta mar, período en el que se estima se harán 244

operaciones de arranque. ¡Cuántos cartuchos deberán embarcarse si se desea una

probabilidad del 99% de no quedarse sin cartuchos?

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12) Cierto tipo de artículos tiene un peso N(40;3) gr. y un número de fallas que es una

Poisson de $\lambda $ = 0.5. Una norma especifica que un artículo debe pesar entre 38 y 41 gr. y

no tener fallas. Los artículos que cumplen con la norma se venden a $10 cada uno, y el

resto a $2 cada uno. El costo de fabricación es de $5 cada uno. Calcular la cantidad

de artículos a vender para tener una ganancia mayor que $1000 con una seguridad del 90%?

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13) En una fábrica se dispone de un equipo de máquinas que sufren roturas a la Poisson, a

razón de 3 máquinas por día. El costo de reparación es de $10 si se rompe una sola

máquina, $8 por máquina si se rompen dos, y $5 por máquina si se rompen tres o más.

Se está por comprar un nuevo equipo de máquinas cuyo número de roturas es despreciable,

que cuestan $10000. Calcular los días de trabajo necesarios para amortizar el nuevo

equipo con una seguridad del 90%?

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14) Cierto tipo de componente tiene un peso N(10;2) gr. Los artículos de peso inferior a 8gr se

venden a $5 y el resto a $15. El costo del material es de 0.2$/gr. El tiempo empleado en la

fabricación de un artículo es G(2;0.2) min. El costo de mano de obra es de 0.1$/min. Si se

han fabricado 625 artículos, ¿Cuál es la probabilidad de que la ganancia total supere los $7500?

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15) Una máquina produce y envasa cierto producto a razón de 100 unidades por caja. Cada unidad

pesa N(8;3) gr. Idem para una máquina B, pero cada unidad tiene un peso que es uniforme entre

0 y 15 gr. Las cajas tanto de la máquina A como de la B se mezclan. De la producción total el 30%

es de A, y el resto de B. Una norma indica que una caja debe pesar entre 780 y 840 gr. Un

cliente decide comprar un lote de 1000 cajas, para lo cual muestrea 100 cajas y rechaza el lote

si hay más de 5 que no cumplen con la norma. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar el lote?

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16) Dos máquinas A y B producen artículos de peso N(10;2) y U(10;14) gramos. Los artículos

de la máquina A de peso inferior a 8 gr. son eliminados por control de calidad. Posteriormente los

artículos de ambas máquinas se mezclan en porcentajes 30% y 70 % respectivamente.

Un cliente decide comprar una partida de 1300, para lo cual analiza 100 de ellos y rechaza la

partida si encuentra que su peso promedio es inferior a 11 gr. Calcular la probabilidad de

rechazar la partida?

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17) Un comerciante dispone de dos tipos de productos cuyos pesos unitarios son : tipo P,

U(1;2) gr. y tipo Q, U(4;5) gr. Los mezcla en proporciones 40% y 60% respectivamente, y

forma cajas de 100 unidades. Para estas cajas una norma especifica un peso de por lo menos

200 gr. Por lo tanto un comerciante decide vender solo aquellas cajas que cumplan con la norma.

Hallar el porcentaje de cajas que cumplen con la norma, y el peso medio de las cajas vendidas?

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18) Cierto artículo tiene un peso U(0;4) gr y se mezcla con artículos de mayor calidad, de peso

fijo 6 gr. en proporción 30% y 70% respectivamente. Posteriormente se forman paquetes de

400 artículos. Control de calidad deja salir a venta solo aquellos paquetes de peso superior a

2000 gr. Un cliente decide comprar 1450 paquetes, para lo cual muestrea 100 paquetes, y

rechaza la partida si hay más de 5 que no cumplen con la norma. ¿Cuál es la probabilidad

de rechazar la partida? (Una norma especifica un peso superior a 2050 gr por paquete).

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19) Una máquina produce rollo de hojalata con una razón de fallas de 0.03 fallas/metro. Los

rollos son de 100 metros. Control de calidad permite salir a venta solo los rollos que tengan

5 o menos fallas, y los clasifica como de tipo B. Además se dispone en stock, rollos de

100 metros tipo A, que fueron producidos por una máquina de 0.01 fallas/metro(estos

rollos no pasan por el control mencionado). Un cliente decide comprar una partida de

3000 rollos. El jefe de ventas ordena que la partida esté constituída por 2100 rollos tipo A,

y el resto tipo B. El cliente utiliza el siguiente sistema de inspección: analiza 100 rollos

al azar, y rechaza la partida si encuentra más de 200 fallas. Hallar la probabilidad de

rechazar la partida?

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20) Un fabricante produce cables de acero de 100 alambres. La resistencia del cable es la suma

de las resistencias de sus alambres. El 60% de los alambres utilizados han sido comprados

a un proveedor A, y tienen una resistencia que es N(210;20) Kg. El resto son de un

proveedor B, y su resistencia es de N(220;30) Kg. Para mejorar la calidad del producto se

decide ensayar cada alambre hasta 200 Kg, antes de trenzar el cable. ¿Cuál es la

probabilidad de que un cable tenga una resistencia inferior a 21 ton?

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21) La duración en horas de cierta lámpara es de 100/(F+1) , siendo F la cantidad de

imperfecciones en el filamento. ponga que F es una Poissón de $\lambda $ = 0.8. Un cliente decide

comprar 1000 lámparas para realizar un trabajo de 8000 horas. Cuál es la probabilidad

de que le alcancen para terminar el trabajo?

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22) Cierto tipo de material tiene una razón de fallas de 0.3 fallas/metro. Un minorista compra

un rollo de 500 m, y lo fracciona en láminas d 5 m. Si la lámina no tiene fallas la vende a

$15, si tiene 4 o más fallas la vende como material de rezago a $7. En caso contrario la

vende a $15 pero haciendo un descuento de $2 por cada falla. El costo de cada lámina

es de $5. ¿Que probabilidad tiene de ganar en total más de $800?

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23) En una autopista pasan vehículos a razón de tres por minuto. El tiempo que emplea un

hombre en cruzarla es de 10 seg.(exactamente). Hallar la densidad del número de cruces

que puede hacer entre el paso de dos vehículos? ¿Cuántos vehículos seguidos deberán

pasar para poder cruzar 100 veces la ruta con una seguridad del 95%?

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24) Cierto artículo de fabricación en serie está constituído por dos partes A y B con pesos

N(500;10) y N(30;2) respectivamente. Una norma especifica para la parte A un peso

entre 480 y 520 gramos, y para la parte B un peso entre 28 y 32 gramos. Cada artículo está

formado por el ensambaldo al azar de las partes A y B. Los artículos en que tanto la parte A

como la B cumplan con la norma, se venden a $10 cada uno. Aquellos en que la parte A

cumpla con la norma, pero la B es mayor que la norma se venden a $8 cada uno. El resto

de los artículos se venden a $2 cada uno.Calcular la cantidad de artículos a vender para

asegurarse una venta de $1000 con una probabilidad del 90%?

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25) En una fábrica, control de calidad inspecciona uno a uno los artículos producidos hasta

encontrar a defectuosos (los cuales son inspeccionados "a fondo"). El costo de la inspección

inicial es de $10 por artículo, y el de la inspección "a fondo" es de $70 por artículo. Si para un

mes de 30 días de trabajo se dispone de $26800 como presupuesto para estos ensayos,

¿Cuál debe ser el valor de a para tener una probabilidad del 95% de no exceder el

presupuesto? (el porcentaje de defecuosos en el proceso productivo es del 5%?

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26) El monto de ventas mensuales realizadas por cada corredor de una empresa se distribuye

según una G(18;1.4286) millones$. Todos los corredores cobran un básico de 0.12 mill$

mensuales, y una comisión del 6% cuando sus ventas mensuales no superan los 10 mill$.

Además cuando sus ventas superan los 10mill$ se agrega una comisión del 8% sobre el

excedente a los 10mill$. La empresa tiene 100 corredores. ¿Cuál es la probabilidad de

que tenga que pagar en un mes más de 95mill$ en concepto de corredores?

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27) Un taller compra una máquina a $35000 y con una garantía que la cubre por 50 reparaciones.

Esta máquina sufre roturas a la Poissón a razón de una cada 10 horas. El tiempo que se tarda

en una reparación se puede considerar aproximadamente como una Gamma de $\alpha $ = 1 y $\beta $ = 0.5.

La utilidad que devenga la máquina por hora de funcionamiento es de 10$ por hora, y la pérdida

por hora de reparación es de $20 por hora. ¿Hallar la probabilidad que la garantía amortice

la máquina?

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28) Una máquina envasadora de productos medicinales envía una cantidad de medicamento

por botella a llenar que es N(180;20) cm$^{3}$(suponer densidad 1gr/cm$^{3}$.). El volúmen de una

botella es de 200 cm$^{3}$, y su peso es N(400;30) gr (vacía). Se tiene una partida de 100 botellas.

Un comprador para determinar la cantidad de medicamento que tiene la partida, emplea

el siguiente plan: pesa las 100 botellas llenos, y a esta cantidad le resta 40Kg (el supone

que cada botella vacía pesa exactamente 400 gr). Rechaza la partida si la cantidad de

medicamento así determinada es inferior a 17Kg. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar la

partida?

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29) Un señor decide invertir en dólares el 64% de lo obtenido diariamente en un negocio

de su propiedad. La cantidad de artículos vendidos por día sigue una Poissón de $\lambda $ = 4.

La ganancia por artículo es de $10000. Al final de cada jornada de trabajo va a comprar

los dólares. Suponiendo estabilidad monetaria con un tipo vendedor que responde a una

N(0.00125;0.00001) U$S/$. Suponiendo un mes de 30 días, ¿Calcular la probabilidad

de comprar más de 1000 dólares al finalizar el mes?

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30) El tiempo que emplea una máquina en tallar un artículo es G(16;2) min. Debido a que

hay materiales que están fraguando,y para evitar posibles roturas, cuando el tiempo de

tallado llega a los 10 min, se detiene el procesado del artículo, y se sigue con el siguiente

(el artículo queda como incompleto). Si en un día se procesaron 70 artículos (entre

completos y incompletos), ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo total empleado haya

superado las 11horas?

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31) El tiempo empleado en la fabricación de cierto tipo de componente es G(2;0.5) min.

Cuando el tiempo supera los 10 min. se detiene la producción, se separa el componente

como incompleto, y se continua con el siguiente. Se desean fabricar 5000 componentes

completos, ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo total empleado supere las 36 horas?

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32) Un empleado de una empresa debe comunicarse telefónicamente con 30 clientes. Suponer

que cada intentoi de comunicación le lleva exactamente 25 segundos. Si el cliente está, lo

cual ocurre con una probabilidad p = 0.7, conversa durante un tiempo que se puede considerar

N(100;20) seg. Si el cliente no está, vuelve a insistir en otro momento (suponga que p = 0.7

se mantiene, y que hay independencia entre eventos). Calcular la probabilidad de que en total,

el tiempo empleado en comunicarse y conversar con los clientes supere 1h 10 minutos (es

decir 4200 seg.).

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33) Dos operarios comienzan simultaneamente a tallar los dos lados de una pieza.

Supongamos que cada uno tarda un tiempo N(15;4) horas. Cuando uno

finaliza antes que el otro, lo espera a que termine, antes de seguir con otra pieza. Pero en

ese tiempo, aprovecha para realizar otro trabajo que requiere de mano de obra un tiempo

N(400;40) min. Calcular cuántas piezas deben ser talladas, para que con los tiempos de

espera se concluya el otro trabajo, con una seguridad del 95%?

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34) La fracción buena de unidades producidas diariamente de una pieza, es una

variable aleatoria con media 0.8 y desvío estándar 0.3. La cantidad total diaria tambien

es aleatoria con media 400 y desvío 150 e independiente de la anterior. Calcular la probabilidad

de superar las 21000 unidades buenas en 60 días hábiles?

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